Equazione del calore

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L' equazione del calore è un'equazione differenziale alle derivate parziali, che modellizza l'andamento della temperatura in una regione dello spazio sotto opportune condizioni. Si tratta sostanzialmente di un'equazione di diffusione in cui la quantità che diffonde è appunto la temperatura, modellando il flusso di calore con la legge di Fourier. La forma generale dell'equazione assume la forma

${\partial \theta\over \partial t} + div( -\mu\cdot\nabla \theta) + \beta\cdot\nabla \theta + \sigma\theta = S$

dove $μ$ è una funzione regolare, $β$ è un campo (anche non costante) di trasporto in cui l'incognita è immersa, $σθ$ è il termine di reazione (dovuto ad esempio a reazioni nucleari o chimiche) e $S$ è un termine di sorgente di calore.

L'equazione è poi accompagnata da un dato iniziale e da condizioni al bordo:

condizioni di Dirichlet: rappresentano situazioni in cui la tempereatura al bordo del dominio ha un andamento noto a priori (ad esempio perché la si tiene costante con un termostato)
condizioni di Neumann: rappresentano situazioni in cui il flusso di calore sulla frontiera del dominio è noto a priori.
condizioni di Robin (o di radiazione): rappresenta situazioni in cui si suppone ci sia un legame tra il flusso di calore al bordo e il valore della temperatura al bordo.

La buona posizine dei problemi associati, poi, segue dall'analisi di buona posizione di un problema parabolico (di cui l'equazione del calore è un classico esempio).

[modifica] Un'applicazione semplice

Di seguito è riportato un problema di Cauchy-Dirichlet che modellizza un semplice caso fisico. Supponiamo di avere una sbarra (per comodità) di lunghezza unitaria il cui raggio è trascurabile rispetto alla lunghezza, in modo da rendere il problema monodimensionale. Inoltre poniamo il termine di diffusione $μ$ costante e unitario ed eliminiamo i termini riguardanti trasporto e reazioni interne, in modo da ridurre l'equazione nella forma

θ t = θ x x

con $θ$ cui verranno imposte opportune condizioni di regolarità. Impostiamo i valori al contorno in modo da tenere le due estremità della sbarra a temperatura costante. Fissando la distribuzione di temperatura iniziale abbiamo dunque il nostro problema ben definito:

$\begin{cases} \theta_t (x,t) = \theta_{xx}(x,t) \quad in \quad Q=(0,1)\times(0,+\infty)\\ \theta(x,0) = x \quad x \isin [0,1]\\ \theta(0,t) = \theta(1,t) = 0 \qquad t > 0 \end{cases}$

Vogliamo fare uso del metodo di separazione delle variabili. Per fare questo proviamo a scrivere $θ$ come prodotto di due funzioni, una dello spazio e una del tempo

$θ(x, t) = X (x) T (t)$

che inserita nell'equazione dà

$\frac{T'}{T} = \frac{X''}{X}$

avendo indicato con il "primo" la derivata (ordinaria) delle due funzioni rispetto alla loro variabile di definizione. Ora osserviamo che i due termini dell'uguaglianza sono funzioni di due variabili diverse; pertanto, l'unico modo affinché l'uguaglianza sussista per ogni $t$ e per ogni $x$ è che entrambi i termini siano uguali ad una costante, diciamo $λ$ . Possiamo dunque generare due equazioni differenziali ordinarie per le due funzioni separatamente

$T'(t) = λ T (t)$

che integrata dà immediatamente

$T (t) = c e λ t$

Per la funzione spaziale abbiamo invece il problema ai limiti

$\left\{ \begin{matrix} X''(x)-\lambda X(x) = 0\\ X(0)=X(1)=0\\ \end{matrix} \right.$

Si vede facilmente che, per evitare soluzioni banali, deve essere $λ = - μ 2 < 0$ . A questo punto integrando l'equazione abbiamo

$X (x) = c 1 s i n (μ x) + c 2 c o s (μ x)$

e le condizioni al bordo danno

$c 2 = 0, c 1$ arbitrario e $μ = n π$

Mettendo insieme i pezzi possiamo ora dire che ogni funzione della forma

$\theta_n(x,t) = e^{-n^2 \pi^2 t}sin(n\pi x)$

è formalmente soluzione dell'equazione di partenza. Tuttavia nessuna di esse soddisfa il dato iniziale. Sfuttiamo dunque la linearità dell'equazione e costruiamo una nuova soluzione sovrapponendo tutte le $θ n$

$\theta(x,t) = \sum\limits_{n=1}^{\infin} c_n e^{n^2 \pi^2 t}sin(n\pi x)$

La soluzione trovata col metodo di separazione delle variabili soddisfa il dato iniziale nel senso di $L 2$ . Infatti se sviluppiamo il dato iniziale in serie di Fourier e poi poniamo i $c n$ della nostra soluzione uguali ai coefficienti dello sviluppo di Fourier del dato iniziale, otteniamo, grazie alla disuguaglianza di Bessel, che $\theta(x,t)\longrightarrow x$ nel senso di $L 2$ per t che tende a zero. Infine per dimostrare che quella trovata è l'unica soluzione si può procedere col metodo dell'energia: si moltiplica l'equazione per $θ$ a destra e a sinistra e si integra per parti sul dominio spaziale, ottenendo

$\frac{d}{dt}\int_{0}^{1} \theta ^2 (x,t)dx = -\int_{0}^{1} [{\partial \theta\over \partial x} (x,t)]^2 dx \leq 0$

Dunque la quantità $θ 2 (x, t)$ , che è identificabile con l'energia del sistema, è positiva e decrescente. Se ora esistessero $u$ e $v$ entrambe soluzioni dell'equazione, allora, per linearità, anche $w = u - v$ sarebbe soluzione, con dati al bordo nulli e dato iniziale nullo. Ma allora per $w$ abbiamo che l'energia iniziale è nulla e, poiché abbiam detto che essa deve essere positiva e decrescente, concludiamo che in ogni istante di tempo