Equazione ciclotomica

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L'equazione ciclotomica è l'equazione che si deve risolvere per cercare le radici n-sime dell'unità.

Si cercano le soluzioni dell'equazione

zⁿ − 1 = 0

nel campo dei numeri complessi, o equivalentemente di zⁿ = 1 , cioè si cercano le n radici n-sime dell'unità.

Ad un punto della circonferenza unitaria nel piano di Argand-Gauss risulta associato il numero complesso

z = cosθ + isinθ = e^iθ

dove si è aggiunta la notazione esponenziale dei numeri complessi.

Considerando la circonferenza unitaria di centro O(0,0) e raggio unitario nel piano complesso, le radici dell'equazione giacciono sulla circonferenza unitaria e la dividono in n archi uguali.

Poiché le radici dell'equazione z^{n − 1} + z^{n − 2} + z^{n − 3} + ..... + z + 1 = 0 insieme alla radice z=1 sono le n radici dell'unità e dividono la circonferenza unitaria in n parti uguali, l'equazione precedente è detta equazione ciclotomica ("che divide la circonferenza").

Si ricordi che le n radici n-sime dell'unità, cioè i numeri R, R²,R³,...., Rⁿ = 1 formano un gruppo moltiplicativo, dal momento che soddisfano le seguenti condizioni:

1) chiusura: R^aR^b = R^{a + b} = R^c dove a, b, c sono interi minori di n

2) associatività: R^a(R^bR^c) = (R^aR^b)R^c = R^{a + b + c}

3) elemento neutro: Rⁿ poiché R^aRⁿ = R^a

4) elemento inverso di R^a è R^{n − a}

[modifica] Voci correlate

• radici dell'unità
• eptadecagono