Deviazione standard

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La deviazione standard o scarto quadratico medio è un indice di dispersione (vale a dire una misura di variabilità di una popolazione o di una variabile casuale) derivato direttamente dalla varianza, ha la stessa unità di misura dei valori osservati (mentre la varianza ha come unità di misura il quadrato dell'unità di misura dei valori di riferimento). La deviazione standard misura la dispersione dei dati intorno al valore atteso.

Il termine deviazione standard è stato introdotto in statistica da Karl Pearson (On the dissection of asymmetrical frequency curves,1894) assieme alla lettera greca σ che lo rappresenta.

Se non indicato diversamente, è semplicemente la radice quadrata della varianza, la quale viene coerentemente rappresentata con il quadrato di sigma (σ²).

$\operatorname{\sigma_x} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i-\overline x)^2}{n}}$

dove $\overline x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$ è la media aritmetica.

Formalmente lo scarto quadratico medio di una variabile casuale può essere calcolato a partire dalla funzione generatrice dei momenti (radice quadrata della differenza tra il momento secondo ed il momento primo elevato al quadrato).

A partire dalla deviazione standard si definisce anche la deviazione standard relativa come il rapporto tra $σ x$ e la media aritmetica dei valori:

$\mbox{RSD}=\sigma_r={\sigma_x \over \overline x}$

Questo nuovo parametro (spesso usato in forma percentuale, cioè come $= %RSD = σ % = 100σ r$ ) consente di effettuare paragoni tra deviazioni di dati di tipo diverso, indipendentemente dalle loro quantità assolute.

Esistono argomenti teorici, soprattutto nell'ambito della stima ovvero nell'ambito della statistica inferenziale, dove è noto solo un campione della popolazione, per rimpiazzare il fattore $1 / n$ con $1 / (n - 1)$ nella definizione, ottenendo come nuova definizione:

$\operatorname{\sigma_x} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i-\overline x)^2}{n-1}}$

Sostanzialmente, poiché non è nota la media dell'intera popolazione, ma solo una sua stima (la media del campione), bisogna utilizzare $n - 1$ per ottenere uno stimatore corretto.

Questa correzione al denominatore fa sì che la nuova definizione sia un po' più grande della precedente, correggendo così la tendenza della precedente a sottostimare le incertezze soprattutto nel caso in cui si lavori con pochi dati ( $n$ piccolo).

Osserviamo il caso limite di $n = 1$ , cioè quando effettuiamo una sola misura: la prima definizione dà il risultato, sensato nell'ambito della statistica descrittiva ma non molto ragionevole nell'ambito della inferenziale, $σ = 0$ , mentre la nuova dà un risultato non definito del tipo $0 / 0$ , rispecchiando così la totale ignoranza inerente all'incertezza su una singola misura. In questo senso, si dice che la statistica non dice nulla sul singolo caso.

Peraltro la differenza tra le due definizioni è quasi sempre numericamente insignificante: già nel caso di dieci misure la differenza tra $σ = 0.316$ e $σ = 0.301$ è insignificante per la maggior parte degli scopi.

[modifica] Applicazioni

In ambito finanziario, lo scarto quadratico medio viene usato per indicare la variabilità di un'attività finanziaria e dei suoi payoff (rendimenti). Esso fornisce quindi, implicitamente, una misura della volatilità dell'attività, quindi del suo rischio.

Nell'ambito del Capital Asset Pricing Model, fornendo un'idea della misura di rischio, esso determina univocamente il prezzo sul mercato.

In fisica, è un ottimo indice dell'errore casuale della misurazione di una grandezza fisica.

[modifica] Uso informatico

Per agevolare l'uso da parte di calcolatori, si può utilizzare anche la seguente forma, ottenuta esplodendo la precedente:

$\operatorname{\sigma_x} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N} (t_i^2)} N - (\overline t)^2}$

In questo modo, con sole tre variabili ( $n$ , somma di $t_i^2$ , somma di $t i$ ) possiamo calcolare media e σ di un flusso di lunghezza imprecisata di numeri, senza dover ricorrere ad una memorizzazione degli stessi.