Criteri di congruenza dei triangoli

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In geometria, i criteri di congruenza dei triangoli sono dei teoremi tramite i quali è possibile dimostrare la congruenza fra triangoli, nel caso alcuni loro angoli o lati siano congruenti. I criteri di congruenza sono tre.

Indice

1 Primo criterio
2 Secondo criterio
3 Terzo criterio
4 Triangoli rettangoli
5 Note

[modifica] Primo criterio

Due triangoli sono congruenti se hanno due lati e l'angolo fra essi compreso ordinatamente congruenti.

[modifica] Secondo criterio

Due triangoli sono congruenti se hanno un lato ed i due angoli ad esso adiacenti ordinatamente congruenti

Se si ammette valido il quinto postulato di Euclide, si può dimostrare che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre uguale ad un angolo piatto; per questo motivo, se si conoscono due angoli di un triangolo è sempre possibile determinarne il terzo, e quindi il criterio è generalizzabile in: Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente un lato e due angoli qualsiasi congruenti.

Il secondo criterio (nella sua formulazione originale) è però dimostrabile senza far uso del quinto postulato di Euclide. Per questo i libri di testo sono soliti riportare entrambe le formulazioni, e spesso la seconda (quella che fa uso del teorema sulla somma degli angoli interni di un triangolo) viene detta secondo criterio modificato.

Altri testi, seguendo la linea dimostrativa degli Elementi di Euclide,^[1] dimostrano anche un ulteriore criterio, il quale afferma che due triangoli sono congruenti se hanno un lato, uno degli angoli ad esso adiacenti e l'angolo ad esso opposto ordinatamente congruenti. Spesso questa formulazione viene detta quarto criterio di congruenza.

[modifica] Terzo criterio

Due triangoli sono congruenti se hanno tutti i lati ordinatamente congruenti

[modifica] Triangoli rettangoli

Nel caso dei triangoli rettangoli, un angolo è sempre noto: quello retto. In più, grazie al teorema di Pitagora, avendo due lati è sempre possibile determinare il terzo. Di conseguenza, i tre criteri possono essere semplificati:

due triangoli rettangoli sono congruenti quando hanno due cateti congruenti
due triangoli rettangoli sono congruenti quando hanno uno degli angoli acuti e l'ipotenusa, oppure un cateto, congruenti
due triangoli rettangoli sono congruenti quando hanno un cateto e l'ipotenusa congruenti

Occorre tener presente il fatto che, anche se il teorema di Pitagora rende banale l'ultima delle tre affermazioni precedenti, esso non è però necessario ai fini della sua dimostrazione. Per la dimostrazione del teorema di Pitagora sono infatti necessari altri concetti oltre a quello di congruenza, e cioè quello di equivalenza (più precisamente, di equiscomponibilità) oppure quello di similitudine