Costante di Mills

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica, si definisce costante di Mills il numero reale positivo $\theta \,$ tale che la funzione

$f(n) = \lfloor \theta^{3^n} \rfloor \,$

generi numeri primi per ogni n intero positivo, dove $\lfloor \theta^{3^n} \rfloor \,$ indica la funzione parte intera di $\theta \,$ . L'esistenza di una costante di questo tipo è stata provata nel 1947 da Mills; il che lo portò ad enunciare il teorema di Mills.

Il valore della costante, approssimato a 20 cifre decimali, è

$\theta \approx 1.30637788386308069046...$

(Sequenza A051021 dell'OEIS).

I numeri primi generati dalla costante di Mills sono invece

$2, 11, 1361, 2521008887... \,$

(Sequenza A051245 dell'OEIS), e sono chiamati primi di Mills.

Indice

1 Approssimazioni della costante di Mills
2 Note
3 Voci correlate
4 Collegamenti esterni

[modifica] Approssimazioni della costante di Mills

Non si conosce una formula chiusa per la costante di Mills, il che ne rende impossibile l'approssimazione a priori. Quel che è possibile fare è determinare la successione dei primi di Mills tramite una stima del valore della costante, e da questi ricavarne un valore maggiormente preciso.

Nel 2005 Chris Caldwell e Yuan-You Cheng ^[1] trovarono però un metodo per calcolare circa 7000 cifre di $\theta \,$ : partendo dalla successione dei primi di Mills (sopra menzionati), ricavati mediante una non definitiva approssimazione della costante, dimostrarono che è possibile calcolare i successivi primi della successione assumendo per vera l'ipotesi di Riemann e tramite una generalizzazione del Teorema di Mills, anziché usando la costante di Mills. Calcolati cosi altri primi di Mills più grandi ( $p n$ ), è possibile dare un'approssimazione maggiormente precisa di $\theta \,$ , tramite:

$\theta = \lim_{n \to \infty}\sqrt[3^n]{p_n} \,$