Millsin vakio

Wikipedia

Millsin vakio on matematiikassa pienin sellainen positiivinen reaaliluku A, jolle

$\theta:=\lfloor A^{3^{n}}\;\rfloor$

on alkuluku kaikilla $n\in\mathbb{N}.$

Millsin vakio on likimäärin

$\theta \approx 1{,}3063778838630806904686144926026.$

Chris Caldwell ja Yanyou Cheng ovat laskeneet Millsin vakion lähes 7000 desimaalin tarkkuudella olettaen, että Riemannin hypoteesi on tosi. Millsin vakion arvon laskeminen on vaikeaa, koska sen laskemisessa täytyy tietää alkuluvut, jotka se tuottaa.

Ensimmäiset alkuluvut, jotka se tuottaa, ovat 2, 11, 1361 ja 2 521 008 887 (A051254 OEIS:ssä). Näitä alkulukuja kutsutaan Millsin alkuluvuiksi. Olkoon M(n) n:s Millsin alkuluku. Jos Riemannin hypoteesi on tosi, niin M(n) on suurin alkuluku luvun $M(n-1)^3\!\$ jälkeen. Tätä voidaan käyttää hyväksi Millsin alkulukujen laskemisessa, ensimmäinen Millsin alkuluku on 2; $23$ on 8, jota seuraava alkuluku on 11. $113$ on 1331 jota seuraava alkuluku on 1361 ja niin edelleen. Näin saamme Millsin alkuluvut, edelleen olettaen että Riemannin hypoteesi on tosi. Suurin tunnettu Millsin alkuluku (olettaen että Riemannin hypoteesi on tosi) on

$\displaystyle (((((((((2^3+3)^3+30)^3+6)^3+80)^3+12)^3+450)^3+894)^3+3636)^3+70756)^3+97220,$

jossa on 20562 numeroa.

Tällä hetkellä ei tiedetä minkäänlaista kaavaa Millsin vakiolle, eikä edes tiedetä, onko se irrationaalinen.

Millsin vakio on nimetty W. H. Millsin mukaan. Hän todisti vakion olemassaolon vuonna 1947 mutta ei tiennyt sen arvoa. Todistus perustui Guido Hoheiselin ja A. E. Inghamin tuloksiin koskien alkulukujen välejä.