Costante di Landau-Ramanujan
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In matematica, la costante Landau-Ramanujan K è una costante che si presenta nella teoria dei numeri. K rappresenta la costante di proporzionalità tra il numero di interi positivi minori di x che sono la somma di due quadrati perfetti e
per x che tende a infinito; in altre parole, se N(x) è il numero di interi positivi minori di x somma di due quadrati perfetti, allora
Prende il nome da Edmund Landau e da Srinivasa Ramanujan, che dimostrarono l'esistenza del limite indipendentemente l'uno dall'altro nel 1908.
La convergenza del limite alla costante K è tuttavia molto lenta:
| x | N(x) |  |
| 10 | 7 | 1,0622 |
| 102 | 43 | 0,922765 |
| 103 | 330 | 0,867326 |
| 104 | 2749 | 0,834281 |
| 105 | 24028 | 0,815287 |
| 106 | 216341 | 0,804123 |
Una formula, trovata da Flajolet and Vardi nel 1996, che converge più velocemente a K è
![K=\frac{1}{\sqrt{2}}\prod_{n=1}^\infty\left[\left(1-\frac{1}{2^{2^n}}\right)\frac{\zeta(2^n)}{\beta(2^n)}\right]^{\frac{1}{2^{n+1}}}](../../../../math/c/a/f/cafa36a5dd3a34280f89f25d5d3e73ab.png)
dove ζ(n) è la funzione zeta di Riemann e β(n) è la funzione beta di Dirichlet.
Una formula esatta per K è
dove la produttoria è presa tra tutti i numeri primi p congui a 3 modulo 4.
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