Costante di Brun

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Nel 1919 Viggo Brun ha mostrato che la somma dei reciproci dei numeri primi gemelli (coppie di numeri primi che differiscono di 2) converge a una costante matematica ora chiamata costante di Brun per i numeri primi gemelli e indicata solitamente con B₂:

$B_2 = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right) + \left(\frac{1}{29} + \frac{1}{31}\right) + \cdots$

in forte contrasto con il fatto che la somma dei reciproci di tutti i numeri primi è divergente. Se questa serie fosse stata divergente, avremmo una dimostrazione della congettura dei numeri primi gemelli. Ma poiché converge, non sappiamo ancora se esiste un numero finito di numeri primi gemelli.

Calcolando i numeri primi gemelli fino a 10¹⁴ (e scoprendo nel frattempo il Pentium FDIV bug), Thomas R. Nicely ha sitmato euristicamente un valore di 1.902160578 per la costante di Brun. La migliore stima al giorno d'oggi è stata fornita da Pascal Sebah e Patrick Demichel nel 2002, usando tutti i numeri primi gemelli fino a 10¹⁶:

B₂ ≈ 1.902160583104

Esiste anche una costante di Brun per i numeri primi quadrupli. Una quadrupla di primi è una coppia di coppie di numeri primi gemelli, separati da una distanza di 4 (la minore distanza possibile). Le prime quadruple sono (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109). La costante di Brun per i numeri primi quadrupli, indicata con B₄, è la somma dei reciproci di tutti i numeri primi quadrupli:

$B_4 = \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13} + \frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right) + \left(\frac{1}{101} + \frac{1}{103} + \frac{1}{107} + \frac{1}{109}\right) + \cdots$

e ha il valore:

B₄ = 0.87058 83800 ± 0.00000 00005.

Questa costante non deve essere confusa con la costante di Brun per i numeri primi cugini, cioè coppie di numeri primi della forma (p, p + 4), anch'essa scritta come B₄.