Corpo rigido

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In fisica, un corpo rigido è un oggetto materiale le cui parti sono soggette al vincolo di rigidità.

Il vincolo di rigidità è un vincolo di posizione bilaterale ed indipendente dal tempo, esso fa sì che le mutue distanze fra due punti qualunque del sistema restino invariate in ogni istante. Scelti due punti qualunque $P 1$ e $P 2$ appartenenti al corpo rigido e la loro distanza $d 12$ , il vincolo di rigidità è analiticamente espresso dalla relazione:

$(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2-d_{12}^2=0$

Affinché un sistema abbia un moto rigido è necessario e sufficiente che le velocità simultanee di due suoi punti qualsiasi abbiano la stessa componente lungo la loro congiungente, e questo deve essere vero per ogni coppia di punti del sistema.

Questo vincolo riduce i gradi di libertà del sistema da 3N (dove N è il numero di particelle, dell'ordine di grandezza tipicamente di 10²³) a 6. Infatti, definita la "forma" del corpo rigido, ad ogni istante la sua posizione è individuabile da sei valori, come:

tre coordinate di un punto, due di un secondo punto, una di un terzo punto (le altre coordinate sono univocamente determinate dai vincoli);
oppure: tre coordinate di un punto, tre coseni direttori di rotazione intorno agli assi x, y, z solidali al corpo.

Il moto di un corpo rigido si definisce moto rigido piano quando, considerato un piano solidale al corpo e con giacitura iniziale g, questo si mantiene durante il moto costantemente sovrapposto ad un piano fisso anch'esso di giacitura g; ovvero tutti i punti appartenenti al corpo rigido seguono le stesse leggi temporali di moto su piani paralleli.

Due corpi rigidi vincolati a strisciare l'uno sull'altro su una superficie solidale ad entrambi si dicono costituire una coppia cinematica.

[modifica] Cinematica del corpo rigido

La traslazione di un corpo rigido si riconduce allo studio della cinematica dei sistemi, introducendo il concetto di centro di massa e considerando il corpo come un sistema continuo.

Lo studio della parte rotazionale con i concetti già noti sono sufficienti a determinare tutte le caratteristiche cinematiche del moto. La rotazione di un corpo rispetto ad un asse passante per almeno un punto del corpo è perfettamente determinata dalla conoscenza della variazione angolare del moto del corpo rispetto ad un punto generico dell'asse di rotazione:

$d \vec r = d\vec \theta \times \vec r$

o meglio dal vettore velocità angolare:

$\vec \omega = \frac{d \vec \theta}{dt}$

esso è diretto parallelamente all'asse di rotazione con verso definito dalla regola della vite. Allora la velocità di un punto qualsiasi del corpo rispetto all'asse di rotazione è:

$\vec v = \frac{d \vec r}{dt} = \frac{d \vec \theta \times \vec r}{dt} = \vec \omega \times \vec r$

La variazione della velocità angolare ci dice che un punto qualsiasi del corpo rispetto all'asse di rotazione subisce un'accelerazione angolare:

$\vec \dot \omega = \frac{d \vec \omega}{dt}$

e lo stesso punto subisce un'accelerazione data da:

$\vec a = \frac{d \vec v}{dt} = \frac{d}{dt} \vec \omega \times \vec r$

che per la regola di derivazione del prodotto:

$\vec a = \frac{d \vec \omega}{dt} \times \vec r + \vec \omega \times \frac{d \vec r}{dt}$

allora in definitiva, poiché $\vec \dot \omega = \frac{d\vec \omega}{dt}$ è l'accelerazione angolare e $\vec v = \frac{d \vec r}{dt}$ :

$\vec a = \vec \dot \omega \times \vec r + \vec \omega \times (\vec \omega \times \vec r)$

dove il primo termine rappresenta la componente tangenziale dell'accelerazione e il secondo termine quella centripeta.

[modifica] Dinamica del corpo rigido

Per approfondire, vedi la voce Equazioni cardinali dei sistemi.

Per quanto riguarda la parte dinamica del moto di un corpo rigido, sappiamo che un sistema continuo è soggetto alle equazioni cardinali della dinamica:

$\begin{cases} \vec F^{ext} = m \frac{d\vec v_c}{dt} = \frac{\vec p_c}{dt}\\ \vec M^{ext} = \frac{d \vec L}{dt}\end{cases}$

dove si introduce il concetto del centro di massa a cui si riferiscono le grandezze associate. A partire da queste equazioni si determina perfettamente la dinamica del corpo rigido. Un corpo rigido è isolato se:

$\begin{cases} \vec F^{ext} = m \frac{d\vec v_c}{dt} = \frac{\vec p_c}{dt} = 0\\ \vec M^{ext} = \frac{d \vec L}{dt} = 0\end{cases}$

e queste equazioni introducono le leggi di conservazione e fanno parte di una branca della meccanica classica detta statica.

Per quanto riguarda la parte energetica del moto di un corpo rigido, l'energia cinetica ha il contributo dell'energia cinetica traslazionale e di quella rotazionale in generale date da:

$T = T_{tr} + T_{rot} = \frac{1}{2} m v_{c}^{2} + \frac{1}{2} I_c \omega^{2}$

dove $I c$ è il momento d'inerzia del corpo rispetto ad un eventuale asse di rotazione e vale il Teorema di Huygens-Steiner. Il lavoro delle forze interne di un corpo rigido è per il terzo principio della dinamica nullo.

[modifica] Esempi

Sono moti rigidi piani quelli in cui il corpo ruota intorno ad un asse fisso e il moto di puro rotolamento, il moto del pendolo composto e quello della trottola.

[modifica] Voci correlate

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Categorie: Dinamica | Meccanica razionale

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[modifica] Cinematica del corpo rigido

[modifica] Dinamica del corpo rigido

[modifica] Esempi

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