Circuito RC

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Un circuito RC è un circuito elettronico del primo ordine basato su una resistenza e sulla presenza di un elemento dinamico, il condensatore. A seconda di come sono disposti i due componenti del circuito RC esso è in grado di filtrare le frequenze basse (filtro passa basso) oppure quelle alte (filtro passa alto), realizzando un filtro del primo ordine e se considerato come cella elementare, esso è in grado di comporre filtri del secondo ordine e via dicendo come il doppio passa basso e doppio passa alto.

Per le sue caratteristiche questo circuito è basilare per funzioni quali la pulizia di un segnale e nei sintetizzatori. Inoltre esso costituisce anche un tipo di derivatore e di integratore elementare sotto certe condizioni. Sfruttando il principio di carica e scarica del condensatore, questa configurazione trova utilizzo anche come oscillatore. In particolare, soprattutto nella didattica, è utilizzato per la generazione di segnali di clock (vedere abbinamento con Trigger di Schmitt per creare segnali di tipo logici).
Tuttavia, vista la variabilità dei comportamenti del condensatore in funzione delle condizioni ambientali, questa configurazione è utilizzata nelle applicazioni in cui la temporizzazione non necessita grande precisione.

Indice

1 Circuito RC in evoluzione libera
2 Circuito RC con generatore di tensione costante
3 Circuito RC con risposta al gradino e all'onda quadra
- 3.1 Risposta del circuito RC all'onda quadra
4 Circuito RC risposta in frequenza
- 4.1 Metodo simbolico per la risposta in frequenza
- 4.2 Metodo operatoriale per la risposta in frequenza
5 Voci correlate

[modifica] Circuito RC in evoluzione libera

Circuito RC in evoluzione libera

Andamento della tensione ai capi di C del circuito RC in evoluzione libera

Si chiama Circuito RC in evoluzione libera il circuito mostrato in figura composto da una resistenza e da un condensatore carico di capacità C. Evoluzione libera significa che il circuito non ha sorgenti esterne di tensione o di corrente, la corrente circolante è dovuta solo al movimento di cariche dovute all'energia immagazzinata nel condensatore.

Per approfondire, vedi la voce Sistemi dinamici lineari.

Al tempo $t 0 = 0$ la tensione ai capi di C è $v C (0) = 0$ , questa viene presa come condizione iniziale.

Applicando la legge di Kirchhoff delle tensioni, l'equazione del circuito è:

(1) $\;\;R \cdot i(t) + v_C(t) = 0$

dove $i (t)$ è la corrente elettrica circolante. La relazione caratteristica del condensatore è ben nota:

(2) $\;\;i(t) = C \cdot \frac{d v_C(t)}{dt}$

allora la (1) diventa un'equazione differenziale omogenea del primo ordine:

(3) $\;\;R C \cdot \frac{d v_C(t)}{dt} + v_C(t) = 0 \; \rightarrow \; \frac{d v_C(t)}{dt} + \frac{1}{RC} v_C(t) = 0$

Dalla teoria delle equazioni differenziali la sua soluzione è:

(4) $\;\;v_C(t) = v_C(0) \cdot e^{-t / RC}$

La corrente segue la:

(5) $\;\;i(t) = C \cdot \frac{dv_C(t)}{dt} = - \frac{v_C(0)}{R} \cdot e^{-t / RC}$

Al prodotto $RC = \tau \, [s]$ viene dato il nome di costante di tempo del circuito ed una quantità caratteristica del circuito.

Per approfondire, vedi la voce Scarica di un condensatore.

Fisicamente la quantità di carica Q contenuta nel condensatore tramite la relazione $C = \frac{Q}{\Delta V}$ al momento iniziale, nel momento in cui l'interruttore T viene chiuso, il condensatore scarica questa carica entro il circuito e si crea un passaggio di corrente elettrica: tale corrente elettrica si dissipa completamente nella resistenza R secondo la legge (5): la corrente tende esponenzialmente a zero per $t \to \infty$ . Il tempo caratteristico di questa caduta di corrente è proprio determinato dalla costante di tempo: essa è il valore dell'istante per il quale la corrente prende il valore di:

$i(\tau) = \frac{1}{e}$

[modifica] Circuito RC con generatore di tensione costante

Circuito RC con generatore di tensione costante

Andamento della tensione per un circuito RC con generatore di tensione costante

Ipotizziamo che il generatore di tensione $V 0$ sia costante nel tempo, possiamo scrivere l'equazione di Kirchhoff delle tensioni:

(6) $\quad V_0 = R \cdot i(t) + v_C(t)$

dove $i (t)$ è la corrente elettrica circolante. Sostituendo la relazione caratteristica del condensatore (2), la (6) diventa un'equazione differenziale non omogenea del primo ordine:

(7) $\quad V_0 = R C \cdot \frac{d v_C(t)}{dt} + v_C(t) \; \rightarrow \; \frac{d v_C(t)}{dt} + \frac{1}{\tau} v_C(t) = \frac{V_0}{\tau}$

dove $τ = R C$ è la costante di tempo del circuito. Dalla teoria delle equazioni differenziali la sua soluzione è:

(8) $\;\;v_C(t) = \left(v_C(0) - V_0 \right) \cdot e^{-t /\tau} + V_0$

La corrente segue la:

(9) $\;\;i(t) = C \cdot \frac{dv_C(t)}{dt} = - \frac{v_C(0) - V_0}{R} \cdot e^{-t / \tau}$

Fisicamente la presenza della tensione costante del generatore induce che la tensione ai capi di C $v C (t)$ cresca esponenzialmente partendo da $v C (t = 0) = v C (0)$ fino a tendere al valore della tensione costante del generatore. Dunque per $t \to \infty$ si ha che $v_C(t) \to V_0$ . Viceversa la corrente indotta nel circuito è esponenzialmente decrescente da un valore iniziale $\frac{v_C(0)}{R}$ fino a tendere al valore i = 0 .

Quando al tendere di $t \to \infty$ la tensione $v_C(t) \to V_0 = cost$ , il condensatore si comporta come un circuito aperto. A regime di tensione costante un qualsiasi circuito composto da un numero arbitrario di resistenze e di generatori di tensione costante e da un condensatore può essere quantitativamente studiato utilizzando questa proprietà, cioè supponendo che il circuito in corrispondenza del condensatore sia aperto.

In particolare la risposta del circuito RC ad una tensione costante è composta di due parti:

$\left(v_C(0) - V_0 \right) e^{-t/ \tau}$ si chiama risposta transitoria o transiente del circuito;

V 0

si chiama risposta permanente o a regime del circuito.

[modifica] Circuito RC con risposta al gradino e all'onda quadra

Circuito RC con generatore costante a tratti

Risposta del circuito RC al gradino

Risposta del circuito RC all'onda quadra

Prendiamo un segnale a gradino di Heaviside del tipo:

$u(t) = \begin{cases}0 & \mbox{per } t < 0 \\ 1 & \mbox{per } t > 0 \end{cases}$

come in figura. Il calcolo della tensione ai capi di C è data per $t > 0$ :

$v_C (t) = V_0 \left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}} \right)$

Ovviamente invece che a $t = 0$ si può scegliere qualsiasi istante $t 0$ con le modifiche conseguenti:

$u(t - t_0) = \begin{cases}0 & \mbox{per } t < t_0 \\ 1 & \mbox{per } t > t_0 \end{cases}$

Il calcolo della tensione ai capi di C è data per $t > t 0$ :

$v_C (t) = V_0 \left(1 - e^{-\frac{t-t_0}{\tau}} \right) \cdot u(t-t_0)$

Si vede dalla seconda figura che la tensione ai capi di C per $t < t 0$ è nulla, per $t > t 0$ cresce esponenzialmente esattamente come se vi fosse un generatore costante $V_0 = u(t > t_0) = 1 \cdot V_0$ , nella figura si mostra il valore $u (t - t 0)$ poiché è immediato che si può applicare il gradino a qualsiasi $V 0$ .

[modifica] Risposta del circuito RC all'onda quadra

Applicando un segnale periodico a gradino si ha un'onda quadra:

r e c t (t) = V 0 [u (t i) - u (t j)]

dove $t i, t j$ sono gli istanti successivi equidistanti nel tempo. La risposta del circuito RC è:

$v_C (t) = V_0 \left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}} \right)$

ma bisogna distinguere i casi in cui $t < t 0$ e $t > t 0$ , cioè bisogna distinguere tra quando la durata dell'impulso $(t - t 0)$ è abbastanza lunga da permettere al condensatore di caricarsi quasi totalmente e quando invece questo non avviene. In pratica, poiché la costante di tempo determina tutte le caratteristiche del circuito, bisogna vedere se $τ < < t 0$ oppure $τ > > t 0$ come nella terza figura.

Si può anche determinare la tensione ai capi di R in ognuno di questi casi, basti sapere che:

v R (t) = V 0 - v C (t)

[modifica] Circuito RC risposta in frequenza

Circuito RC con generatore di onda sinusoidale

Vediamo come si comporta il circuito RC applicando un generatore di onda sinusoidale. In questo caso possiamo applicare la legge di Kirchhoff delle tensioni per il circuito:

$V_0 \sin (\omega t) = R \cdot i(t) + v_C (t)$

con gli stessi ragionamenti fatti all'inizio possiamo riscrivere l'equazione come:

$V_0 \sin (\omega t) = R C \frac{dv_C (t)}{dt} + v_C(t)$

e quindi risolvere l'equazione differenziale a coefficienti costanti con termine noto:

$\frac{dv_C (t)}{dt} + \frac{1}{\tau} v_C(t) = \frac{V_0 \sin (\omega t)}{\tau}$

nella quale $τ = R C$ è ancora la costante di tempo del circuito. La soluzione generale è data dalla somma della soluzione dell'omogenea associata:

$v_C(t) = v_C(0) e^{-\frac{t}{\tau}}$

e una soluzione particolare:

K sin(ω t + θ)

dove K è una costante. Dunque:

$v_C(t) = v_C(0) e^{-\frac{t}{\tau}} + K \sin (\omega t + \theta)$

Anche in questo caso abbiamo una risposta transitoria data dall'esponenziale, la quale in un primo tempo, prevale sulla risposta permanente, data da un'altra sinusoide. Perciò per la durata del periodo di transizione la tensione ai capi di C prevale l'esponenziale e quindi essa si discosta dalla tensione sinusoidale di ingresso, dopo la fase transitoria la tensione ritorna ad essere una sinusoide con uguale pulsazione della tensione di ingresso. L'analisi di questo circuito può anche essere fatta per mezzo del metodo simbolico utilizzando i fasori e la trasformata di Fourier, sostituendo alle grandezze sinusoidali i loro corrispondenti fasori: i risultati sono identici, in quanto vige la legge di Ohm simbolica anche per regimi sinusoidali. In alternativa si può usare il metodo operatoriale più generale della trasformata di Laplace.

[modifica] Metodo simbolico per la risposta in frequenza

Utilizzando il metodo simbolico:

$j \omega \mathbf{V}_C + \frac{1}{\tau} \mathbf{V}_C = \frac{1}{\tau} V_0$

da cui si ricava subito la tensione di uscita ai capi del condensatore:

$\mathbf{V}_C = \frac{V_0}{1 + j \omega \tau}$

Poiché generalmente questa è una grandezza complessa, essa varia in modulo e argomento:

$|\mathbf{V}_C| = \frac{V_0}{\sqrt{1 + \omega^2 \tau^2}}$

$arg \mathbf{V}_C = 0 - \arctan (\omega \tau)$

Per ritornare all'analisi nel tempo dobbiamo risostituire il modulo e l'argomento:

$v_C(t) = |\mathbf{V}_C| \cdot arg \mathbf{V}_C = \frac{V_0}{\sqrt{1 + \omega^2 \tau^2}} \sin( \omega t - \arctan (\omega \tau))$

Da questa ricaviamo le altre informazioni sul circuito:

$i(t) = C \cdot \frac{v_C(t)}{dt} = - \frac{\omega C V_0}{\sqrt{1 + \omega^2 \tau^2}} \sin( \omega t - \arctan (\omega \tau))$

$v_R(t)= R \cdot i(t) = - \frac{\omega R C V_0}{\sqrt{1 + \omega^2 \tau^2}} \sin( \omega t - \arctan (\omega \tau))$

Si vede che il legame tra la tensione di uscita e quella di ingresso è del tipo:

$\mathbf{V}_u = \mathbf{H}(j\omega) \cdot \mathbf{V}_i$

in generale $\mathbf{H}$ è chiamata funzione di rete o di funzione di trasferimento ed è sempre una funzione reale di variabile complessa $j ω$ . La sola funzione di rete permette di riconoscere per mezzo del modulo di $\mathbf{H}$ e della sua fase, la risposta del circuito in regime sinusoidale (o periodico in generale se si usa il metodo operatoriale). Nel circuito RC in questione l'andamento del modulo e della fase della funzione di rete è mostrato in figura. Il valore per il quale:

$|\mathbf{H}| = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \omega^2 \tau^2}}$

cioè:

$\omega_t = \frac{1}{\tau}$

è chiamata pulsazione di taglio (a volte anche detta frequenza di taglio in maniera impropria ma intuitiva poiché $ω = 2π f$ ) del circuito: dalla quale si possono dedurre le proprietà filtranti del circuito. Infatti per $ω = ω t$ il modulo e l'argomento di $\mathbf{H}$ sono:

$|\mathbf{H}| = \frac{1}{\sqrt{2}} \mbox{ e } arg \mathbf{H} = - 45$

al di sotto di questa frequenza cioè per $ω < ω t$ :

$|\mathbf{H}| \approx 1 \mbox{ e } arg \mathbf{H} \approx 0$

ciò indica che la risposta è quasi perfettamente identica all'ingresso senza sfasamento e variazione di ampiezza. Mentre per $\omega \to \infty$ , cioè per tutte le altre frequenze al di sopra della frequenza di taglio:

$|\mathbf{H}| \approx 0 \mbox{ e } arg \mathbf{H} \approx - 90$

quindi il segnale di uscita viene praticamente azzerato con sfasamento massimo. Il circuito RC è un filtro passa-basso, per questo motivo.

[modifica] Metodo operatoriale per la risposta in frequenza

Utilizzando il metodo operatoriale con la trasformata di Laplace al circuito serie (generatore di tensione, resistenza, capacità) otteniamo la trasformazione di equazioni differenziali (e integrali) in equazioni algebriche. Prelevando l'uscita in parallelo al condensatore:

${R \rightarrow R}$ e ${C \rightarrow {1 \over sC}}$