Campo vettoriale conservativo

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Un campo vettoriale $\vec V: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ si dice conservativo se esiste una funzione $U(x,y,z) : A \subset \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}$ tale che:

(1) $\vec V = \nabla U(x,y,z)$

dove U si chiama funzione potenziale.

In generale un campo vettoriale non ammette sempre un potenziale. La condizione necessaria perché un campo sia conservativo è che:

(2) $\vec V = (V_1,V_2,V_3) = \vec \nabla \cdot U = \left ( \frac {\partial U}{\partial x} , \frac {\partial U}{\partial y} , \frac {\partial U}{\partial z} \right)$

dove la U si chiama potenziale di $\vec V$ . Questa formula impone che condizione necessaria perché un campo sia conservativo è che siano soddisfatte le seguenti uguaglianze:

(3) $\begin{cases} \frac {\partial V_1}{\partial y} = \frac {\partial V_2}{\partial x} \\ \frac {\partial V_2}{\partial z} = \frac {\partial V_3} {\partial y} \\ \frac {\partial V_3}{\partial x} = \frac {\partial V_1} {\partial z} \end{cases}$

Da notare che questa condizione è solo necessaria, per cui anche se si verificano le condizioni (3), non è detto che esista la funzione potenziale. Se si introduce la definizione di rotore, possiamo scrivere questa condizione necessaria:

$\mbox{rot } \vec V = \vec \nabla \times \vec V = \left ( \frac {\partial V_3}{\partial y} - \frac {\partial V_2}{\partial z} \, , \, \frac {\partial V_3}{\partial x} - \frac {\partial V_1} {\partial z} \, , \, \frac {\partial V_2}{\partial x} - \frac {\partial V_1} {\partial y} \right)$

I campi vettoriali per cui si ha:

$rot \vec V = \vec \nabla \times \vec V = 0$

si dicono irrotazionali. In definitiva perché un campo sia conservativo necessariamente il rotore di questo campo deve essere nullo.

La condizione sufficiente viene data dal lemma di Poincaré:

Se l'insieme in cui è definito il campo è un insieme aperto stellato e il campo è irrotazionale allora il campo è conservativo.

Le condizioni viste sopra sono condizioni sotto forma differenziale. Si possono dare le corrispondenti condizioni necessaria e sufficiente in forma integrale:

Condizione necessaria e sufficiente perché un campo vettoriale sia conservativo è che l'integrale curvilineo lungo qualsiasi linea chiusa l:

$\oint_{l} \vec V \cdot d\vec s = 0$

il che corrisponde alla:

$\int_{A}^{B} \vec V \cdot d\vec s = U(B) - U(A) = \int_{A}^{B} \vec \nabla \cdot U d\vec s$

[modifica] Conseguenze

Conseguenze della condizione necessaria e sufficiente analoghe sono:

Un campo è conservativo se, e solo se, il lavoro che compie il campo vettoriale da un punto ad un altro dello spazio non dipende dal percorso ma solo dal punto di partenza e dal punto di arrivo.
Un campo è conservativo se, e solo se, esso è irrotazionale e definito in un aperto stellato, cioè il rotore è nullo in ogni punto del campo.
Inoltre è importante la seguente osservazione: un campo vettoriale è conservativo se, e solo se, si può definire una funzione scalare chiamata potenziale, in modo tale che il lavoro che si compie lungo un percorso tra due punti qualsiasi dello spazio è uguale alla variazione di questa funzione scalare tra questi due punti.

[modifica] Approfondimenti

Nel caso del campo scalare è sempre possibile dedurre da esso un campo vettoriale: detto campo gradiente. Il campo gradiente è quindi un particolare campo vettoriale conservativo: esso in quanto tale ammette sempre potenziale e ha sempre rotore nullo, cioè è sempre irrotazionale. Vogliamo un campo scalare generico dipendente dalle coordinate $U (x, y, z)$ e sia $d\vec s = \vec i dx + \vec j dy + \vec k dz$ uno spostamento infinitesimo; vogliamo calcolare la variazione della nostra funzione spostandoci lungo questo spostamento: