Biforcazione a nodo sella

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In Matematica, una biforcazione a nodo sella è una biforcazione locale nella quale, al variare del parametro, si ha la creazione o la distruzione dei punti d'equilibrio. L'esempio classico di nodo sella è dato dall'equazione differenziale

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = r + x^2$

dove r è il parametro che può assumere valori positivi, negativi o nulli.

Campo vettoriale della biforcazione a nodo sella

Se $r < 0$ vi sono due punti d'equilibrio, uno stabile a $-\sqrt{-r}$ ed uno instabile a $+\sqrt{-r}$ .
Quando $r = 0$ (punto di biforcazione) vi è esattamente un punto fisso. Tale punto (iperbolico) è chiamato punto sella ed è originato dal collasso in un unico punto dei due punti d'equilibrio visti prima. Per tale ragione conserva a destra le caratteristiche di stabilità ed a sinistra quelle di instabilità.
Se $r > 0$ i punti di equilibrio sompaiono.

Dal diagramma di biforcazione si vede che che tutti i punti di equilibiro $x \geq 0$ sono instabili

Un altro esempio di biforcazione a sella è dato dall'equazione differenziale:

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = r - x^2$

In tal caso si ottengono risultati speculari a quanto visto sopra rispetto al valore critico $r = 0$ ovvero:

nessuno punto di equilibrio per $r < 0$ ;
un punto d'equilibrio semistabile (instabile a sinistra e stabile a destra) in $x = 0$ per $r = 0$ ;
due punti di equilibrio per $r > 0$ , di cui: uno instabile in $x = - s q r t r$ ed uno stabile in $s q r t r$ .

Anche il diagramma di biforcazione risulta speculare al diagramma della prima forma rispetto al punto $\left(r=0, x=0\right)$ .

Le due parabole sono dette forme canoniche o forme normali delle biforcazioni a nodo sella, in quanto ogni altra biforcazione dello stesso tipo può essere ricondotta qualitativamente ad una delle due. Inoltre anche altri tipi di sistemi si possono studiare, in determinati intervalli, come fossero nodi sella.

[modifica] Terminologia

La biforcazione a nodo sella (saddle-node in inglese) è detta anche biforcazione tangenziale (tangential bifurcation) o biforcazione fold (da fold, piega). A causa dell'improvvisa apparizione e scomparsa dei punti d'equilibrio per parametri ai due lati del valore critico, Ralph Abraham ha inventato il nome di blue sky bifurcation (dall'espressione inglese out of the clear blue sky = per caso).