Arcotangente

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In trigonometria l'arcotangente è definita come funzione inversa della tangente di un angolo nell'intervallo $\left(-\frac\pi2, \frac\pi2\right)$ .

[modifica] Notazione

La notazione matematica dell'arcotangente è arctan o arctg; è comune anche la scrittura piuttosto ambigua tan^-1. In diversi linguaggi di programmazione e sulle tastiere di alcune calcolatrici si utilizzano le forme ATAN e ATN.

[modifica] Proprietà

Grafico della funzione y=arctan(x)

L'arcotangente è una funzione continua e strettamente crescente, definita per tutti i numeri reali:
$\arctan: \mathbb R\rightarrow\left(-\frac\pi2, \frac\pi2\right)$ .
Esistono inoltre i limiti
$\lim_{x\rightarrow+\infty}\arctan x=\frac\pi2$ e $\lim_{x\rightarrow-\infty}\arctan x=-\frac\pi2$ .
Il suo grafico è simmetrico rispetto all'origine degli assi cartesiani, essendo $\arctan x=-\arctan\left(-x\right)$ .

La derivata della funzione arcotangente è
$\frac{d}{dx}\arctan x=\frac1{1+x^2}$ .

La serie di MacLaurin corrispondente è
$\arctan x= \sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}= x-\frac{x^3}3+\frac{x^5}5-\frac{x^7}7+\cdots$ .

Per via della già descritta simmetria vale la relazione per argomenti negativi:
$\arctan\left(-x\right)=-\arctan x$ .

Inoltre è possibile combinare la somma o differenza di due arcotangenti in un'espressione dove l'arcotangente non figura più di una volta:
$\arctan x_1\pm\arctan x_2= \begin{cases} X& \pm x_1x_2<1\\ \pi+X& x_1>0\land\pm x_1x_2>1\\ -\pi+X& x_1<0\land\pm x_1x_2>1\\ \frac{x_1}{\left|x_1\right|}\frac\pi2& \pm x_1x_2=1 \end{cases}$
con $X=\arctan\frac{x_1\pm x_2}{1\mp x_1x_2}$ .

[modifica] Applicazioni

In un triangolo rettangolo l'ampiezza in radianti di un angolo acuto equivale all'arcotangente del rapporto fra il suo cateto opposto e il cateto adiacente.

Trigonometria
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