Súlypont
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.
Ez a szócikk a súlypont mértani értelmezéséről szól. A fizikai értelmezéshez lásd a tömegközéppont szócikket!
A geometriában síkban egy síkidom súlypontján a síkidomot egyenlő területű részre osztó egyenesek metszéspontját nevezzük. N-dimenziós esetre általánosítva: az X test súlypontjának azon hipersíkok metszéspontját nevezzük, amelyek X-et egyforma nyomatékú részre osztják a hipersíkban. Egyszerűbben megfogalmazva, X összes pontjának „átlaga”.
Egy fizikai test mértani középpontja egybeesik a tömegközéppontjával, ha a test állandó sűrűségű, vagy ha a test sűrűségeloszlása szimmetrikus a mértani középpontra. Ezek elégséges, de nem szükséges feltételek.
Tartalomjegyzék |
[szerkesztés] A háromszög és a tetraéder súlypontja
  |
A háromszög súlypontja a súlyvonalak (a csúcsokat a szemközti oldalak felezőpontjával összekötő vonalak) metszéspontja. A súlypont a súlyvonalakat 2:1 arányban osztja úgy, hogy a csúcstól távolabb van. Ahogy a jobb oldali ábra mutatja, a súlypont az oldal és a szemközti csúcs közötti merőleges távolság 1/3-ánál található.
A súlypont megegyezik a háromszög tömegközéppontjával, ha a háromszöglap állandó sűrűségű anyagból készült. A súlypont koordinátái Descertes-féle derékszögű koordinátarendszerben a csúcspontok koordinátáinak számtani közepével egyezik meg.
Hasonló a helyzet a tetraédernél: ennek súlypontja a csúcspontokat a szemközti oldallap súlypontjával összekötő szakaszok metszéspontjában van. Ezeket a szakaszokat a súlypont 3:1 arányban osztja úgy, hogy a csúcstól messzebb esik. Ezt az eredményt könnyen lehet általánosítani n-dimenziós szimplexekre.
[szerkesztés] Kúpok és gúlák súlypontja
A kúpok és a gúlák súlypontja a csúcsot az alap súlypontjával összekötő szakaszon van, 3:1 arányban osztja azt, úgy hogy a csúcstól távolabb esik a súlypont.
[szerkesztés] Súlypont és konvexitás
Egy konvex test súlypontja mindig a testen belül található. Ez a konkáv objektumokra nem minden esetben igaz; például egy gyűrű, vagy egy vödör súlypontja a test középső, üres részében található.
[szerkesztés] A súlypont definíciója integrállal
Egy síkidom súlypontjának abszcisszáját az alábbi képlettel lehet kiszámolni:
,
ahol f(x) az idom függőleges mérete x-nél. Ez az összefüggés a terület y tengelyre vett elsőrendű nyomatékából vezethető le.
Ugyanez az összefüggés írható le egy 
dimenziós térben lévő objektum súlypontjának bármelyik n dimenziójára, feltéve, hogy f(x) az objektum keresztmetszetének (n − 1)-dimenziós mérete az x koordinátánál.
Megjegyezzük, hogy a nevező egyszerűen az objektum n-dimenziós mértéke. Abban a speciális esetben, ha f normalizált, vagyis a nevező 1, a súlypont f közepe.
A képlet nem alkalmazható, ha az objektum mértéke zéró, vagy bármelyik integrál divergál.
Ha az objektum rendelkezik egy vagy több szimmetria-tengellyel, a súlypont mindig a szimmetria-tengelyre esik.
[szerkesztés] Lásd még
[szerkesztés] Külső hivatkozások
- Háromszög súlypontja Írta: Antonio Gutierrez a Geometria lépésről-lépésre az inkák földjén-ből.
- A súlypont tulajdonságai cut-the-knot
