Redukált állapotegyenlet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

[szerkesztés] A kritikus állapotjelzők és a van der Waals-állandók kapcsolata

A van der Waals-egyenlet elemzése alapján fontos általános következtetésre juthatunk a reális gázokra vonatkozóan. Ha az összefüggést a kritikus állapotnak megfelelő adatokkal felírjuk és kifejezzük a nyomást, az alábbi összefüggéshez jutunk:

$p_\mathrm c = \frac{RT_\mathrm c}{V_\mathrm c - b}-\frac{a}{V_\mathrm c^2 } \ .$

A kritikus hőmérsékletnek megfelelő izotermának inflexiós pontja van, ezért itt a függvény első és második differenciálhányados értéke nulla. Ezt a deriválási műveleteket elvégezve:

$\frac{\mathrm dp}{\mathrm dV} = - \frac{RT_\mathrm c}{(V_\mathrm c - b)^2} + \frac{2a}{V_\mathrm c^3 } = 0 \ ,$

$\frac{\mathrm d^2p}{\mathrm dV^2} = \frac{2RT_\mathrm c}{(V_\mathrm c - b)^3} - \frac{6a}{V_\mathrm c^4 } = 0 \ ,$

a három egyenletből a van der Waals-egyenlet a, b és R állandója segítségével a kritikus állapotjelzők kiszámíthatók:

a kritikus térfogat: $V_\mathrm c = 3b \ ,$

a kritikus nyomás: $p_\mathrm c = \frac{a}{27b^2}\ ,$

és a kritikus hőmérséklet: $T_\mathrm c = \frac{8a}{27bR}\ .$

E kifejezések lehetőséget nyújtanak a kritikus adatok ismeretében a van der Waals-egyenlet állandóinak a kiszámítására is:

$a = 3 p_\mathrm c V_\mathrm c^2\ ,$

$b = \frac{V_\mathrm c}{3}\ ,$

$R =\frac{8}{3}\frac{p_\mathrm cV_\mathrm c}{T_\mathrm c} \ .$

[szerkesztés] A redukált állapotegyenlet

Ha a van der Waals-egyenletben behelyettesítjük az állandók helyére a kritikus állapotjelzőkkel kifejezett adatokat, akkor a

$\left(p + \frac{3p_\mathrm c V_\mathrm c^2}{V^2}\right) \left(V - \frac{V_\mathrm c}{3}\right) = \frac{8}{3}p_\mathrm c V_c\ \frac{T}{T_\mathrm c} \ .$

kifejezést kapjuk, amelyet célszerűen megszorozva

$\frac{3}{p_\mathrm c V_\mathrm c} \ .$

kifejezéssel, a

$\left(\frac{p}{p_\mathrm c} + 3\frac{V_\mathrm c^2}{V^2}\right) \left(3 \frac{V}{V_\mathrm c}-1\right) = 8 \frac{T}{T_\mathrm c} \ .$

összefüggést kapjuk.

Bevezetve az ún. redukált állapotjelzők fogalmát:

a redukált nyomás:

$p_\mathrm r = \frac{p}{p_\mathrm c} \ ,$

a redukált hőmérséklet:

$T_\mathrm r = \frac{T}{T_\mathrm c} \ ,$

a redukált térfogat:

$V_\mathrm r = \frac{V}{V_\mathrm c} \ ,$

és a fenti kifejezésbe ezeket behelyettesítjük, akkor a redukált állapotegyenlethez jutunk:

$\left( p_\mathrm r + \frac{3}{V_\mathrm r^2} \right) (3 V_\mathrm r - 1) = 8 T_\mathrm r \ .$

Ez az egyenlet nem tartalmaz egyedi állandókat, hanem az általános gáztörvényhez hasonlóan az állandói függetlenek az anyagi minőségtől. A pontossága azonban csak a van der Waals-egyenlet pontosságával egyezik meg, mert az volt a kiindulási egyenlet.

[szerkesztés] A megfelelő állapotok tétele

A redukált állapotegyenlet alapján azt lehet állítani, hogy létezik egy olyan

$f(p_\mathrm r, V_\mathrm r, T_\mathrm r) = 0 \ ,$

individuális állandók nélküli függvény, amely a redukált állapotjelzőkkel kifejezve, a számított állapotjelző értéke egyezik a tapasztalattal. A különféle anyagok egyéni állapotegyenlete a redukált állapotjelzők bevezetésével egységes alakúra hozható. Ha egy anyagra ismert két redukált állapotjelző, a harmadik kiszámítható.

A megfelelő állapotok tétele azt mondja ki, hogy ha két vagy több anyag redukált állapotjelzői megegyeznek, akkor azok azonos állapotban vannak.

Kategóriák: Fizikai kémia | Termodinamika

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Redukált állapotegyenlet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

[szerkesztés] A kritikus állapotjelzők és a van der Waals-állandók kapcsolata

[szerkesztés] A redukált állapotegyenlet

[szerkesztés] A megfelelő állapotok tétele

Views

Navigáció

részvétel

Keresés