Harmadfokú egyenlet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

Ennek a szócikknek hiányzik vagy nagyon rövid a bevezetője.
Kérjük, segíts olyan bevezetőt írni, ami jól összefoglalja a cikk tartalmát, vagy jelezd észrevételeidet a cikk vitalapján!

Ezt a szócikket át kellene olvasni, ellenőrizni a szövegét, tartalmát.
Részletek a cikk vitalapján.

A matematikában a harmadfokú egyenlet egy olyan egyenlet, amely ekvivalens algebrai átalakításokkal olyan egyenlet alakjára hozható, melynek egyik oldalán harmadfokú polinom szerepel – tehát a változó (x) legmagasabb hatványa a köb – a másik oldalán nulla (redukált alak).

[szerkesztés] Általánosan

Egy harmadfokú függvény grafikonja, itt a gyököket a függvény x tengellyel való metszéspontjai jelentik (y = 0). A függvénynek 2 inflexiós pontja van.

Az általános harmadfokú egyenlet alakja:

$ax^3+bx^2+cx+d=0 \,$

ahol

$a\ne 0 \,$

(ha az a = 0, akkor egy legfeljebb másodfokú egyenlethez jutunk).

Az a, b, c és d betűket együtthatóknak nevezzük: az a x³ együtthatója, a b x² együtthatója, az c x együtthatója és d a konstans együttható.

[szerkesztés] Megoldása

Bővebben: Harmadfokú egyenlet megoldóképlete

Az egyenletet osztjuk a-val, majd új ismeretlen bevezetésével a következő alakra hozzuk:

y 3 + p y + q = 0

y = x + a / 3

Az $(u + v) 3 = u 3 + v 3 + 3 u v (u + v)$ azonosság felhasználásával kifejezzük $y$ -t:

$u=\sqrt[3]{-{q\over 2}\pm \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}$ .

y = u - p / (3 u)

Ahol az u képletében a komplex gyökvonások szerepelnek.

Ha egy valós gyök van, vagy van többszörös valós gyök, akkor az egyenlet valós gyökei a komplex számok használata nélkül is megoldható. De ha az összes gyök valós, és egyszeres, akkor gyökjelekkel csak a komplex számokon keresztül juthatunk el hozzájuk. Ez a casus irreducibilis.