Inflexiós pont

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

Az y = x³ függvény, inflexciós pontja a (0,0)-ban van. Az x = 0 pontban a függvénynek nincs szélsőértéke, mert az f'(x) > 0 minden más pontban, tehát a függvény mindenütt szigorúan monoton növekvő

Az inflexiós pont (vagy hajlási pont) a függvénytanban, függvények analízisénél használt kifejezés, azt a pontot jelenti, ahol a függvénygörbe görbületet vált. A görbe alakja az inflexiós pontban változik konkávból konvexbe, vagy fordítva. A gyakorlati életben ha az ember egy járművel hajtana végig a görbén, akkor egy pillatig egyenes lenne a kormány, miközben a jármű jobbról balra, vagy balról jobbra fordul.

Az x^3 + 2x^2 függvény inflexiós pontja, és az inflexiós pontban a függvényhez húzott érintő.

Az alábbi definíciók ekvivalensek:

Ha az f függvénynek x₀ pontban inflexiós pontja van, akkor az első deriváltjának x₀-ban szélsőértéke van: minimum vagy maximum (lehet csak helyi szélsőérték is)
Az inflexiós pont az a pont a görbén, amelyben a második derivált előjelet vált (azaz az inflexiós pontban a függvényérték nulla f"(x₀)=0).
A függvénygörbének az a pontja, amelybe ha érintőt húzunk, akkor az érintő egyenese átmetszi a függvényt az inflexiós pontban. Ezt könnyű belátni, ugyanis a konvex és konkáv része a grafikonnak csak az érintő különböző oldalán lehet.

Tartalomjegyzék

1 Feltételek az inflexiós pont létezéséhez
- 1.1 Szükséges feltételek
- 1.2 Elégséges feltételek
2 Példa
3 Különleges esetek

[szerkesztés] Feltételek az inflexiós pont létezéséhez

[szerkesztés] Szükséges feltételek

f legyen az x₀ pont egy környezetében kétszer differenciálható
x₀ az inflexiós pont,
ekkor:

$f''(x_W)=0 \,$

[szerkesztés] Elégséges feltételek

f függvény második deriváltja előjelet vált x₀ pontban. Ha $f\,''(x)$ pozitívból negatívba vált az inflexiós pontban, akkor $f\,(x)$ konvexből konkávba vált, ha $f\,''(x)$ negatívból pozitívba vált, akkor pedig $f\,(x)$ konkávból konvexbe megy át.
Legyen az f függvény x₀ pont egy környezetében háromszor differenciálható. Ekkor ha $f\,''(x_0)=0$ és $f'''(x_0) \neq 0$ , akkor $x 0$ inflexiós pont. Ha az $\,f''' > 0$ , akkor a függvénygörbe konkávból konvexbe, ha pedig $\,f''' < 0$ akkor konvexből konkávba vált.

Az inflexiós pont egy speciális, magasabb dimenziókban előforduló fajtája a nyeregpont.

Amennyiben a függvény első deriváltja egy adott pontban szélsőértéket vesz fel, akkor abból következik, hogy abban a pontban a második derivált értéke nulla: f''(x) = 0, de az első feltétel önmagában még nem elegendő az inflexiós pont meglétéhez. Általánosan ennek megállapításához mindig szükség van a legutolsó még nem nulla deriváltfüggvény megvizsgálására.

[szerkesztés] Példa

${ f(x) } = { 1 \over 3 } \cdot x^3 - 2 \cdot x^2 + 3 \cdot x$

A függvény második deriváltja:

${f''(x)} = {2 \cdot x - 4}$

Ekkor teljesülnie kell, hogy:

${f''(x)} = 0 = {2 \cdot x - 4}$

Az eredmény x=2. Egyúttal

${f'''(x)} = 2 \,$

ami nem 0, azaz a függvénynek itt inflexiós pontja van.

[szerkesztés] Különleges esetek

1. ${ f(x) } = (x-2)\cdot e^{|x|}$
Ennek a függvénynek a grafikonja görbületet vált az x = 0 pontban konvexből konkávba. Ennek ellenére ez nem inflexiós pont, mivel itt az első derivált nem létezik, tehát szélsőértéke sem lehet.

2. ${ f(x) } = x \cdot|x|$
Ennek a függvénynek az x = 0 pontban inflexiós pontja van, bár a nem létezik az ${f''(0)} \,$ . Ennek ellenére az első deriváltnak, ${f'} \,$ -nek x = 0-ban minimuma van.