Ekvivalenciareláció
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.
A matematikában ekvivalenciareláció (vagy röviden ekvivalencia) alatt olyan relációt értünk, amely egyszerre reflexív, szimmetrikus és tranzitív.
Tartalomjegyzék |
[szerkesztés] Definíció
Legyen 
tetszőleges reláció az A halmazon. Azt mondjuk, hogy a reláció ekvivalenciareláció, ha az alábbi három feltétel teljesül:
- a reláció reflexív, azaz tetszőleges
esetén a˜a teljesül, - a reláció szimmetrikus, azaz tetszőleges
elemek esetén ha a˜b teljesül, akkor b˜a is teljesül, - a reláció tranzitív, azaz tetszőleges
elemek esetén ha a˜b és b˜c teljesül, akkor a˜c is teljesül.
[szerkesztés] Tulajdonságok
- Minden ekvivalenciareláció egyértelműen meghatároz egy osztályozást azon a A halmazon, amelyen a reláció definiálva van: az elemek pontosan akkor kerülnek egy osztályba ebben az osztályozásban, ha a˜b teljesül.
- Fordítva: valamely A halmaz minden osztályozása egyértelműen meghatároz egy ekvivalenciarelációt az adott halmazon. Ennél az ekvivalenciarelációnál pontosan azok az elemek állnak relációban egymással, amelyek az osztályozásnak ugyanabban az osztályában vannak.
[szerkesztés] Példák
- A legegyszerűbb és legfontosabb példa az egyenlőségreláció
- A logikai ekvivalencia a logikában
- Izomorfizmus az absztrakt algebrában
- Kongruencia a számelméletben
- Összefüggőség a gráfelméletben
[szerkesztés] Hivatkozások
- Rédei, László: Algebra I., Akadémiai Kiadó, Budapest, 1954
- Szendrei, Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged, 1994
