Egyenes
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.
Az egyenes a geometriában használatos fogalom.
[szerkesztés] Az egyenes definiálhatóságáról
Euklidész Kr. e. 300 körül megjelent művében, az Elemekben először a vonalat definiálta:
- A vonal szélesség nélküli hosszúság
és csak ezután következik az egyenes:
- Egyenes vonal az, amelyik a rajta levő pontokhoz viszonyítva egyenlően fekszik.
Ez a megfogalmazás Euklidész azon törekvéséből fakad, hogy mindent, amivel foglalkozik pontosan meghatározzon, minden logikai rést lefedjen. Manapság az egyenest az elemi geometria axiomatikus tárgyalásában (például a Hilbert-féle axiómarendszerben) alapfogalomnak tekintjük, azaz nem vezetjük vissza további definícióval más fogalmakra.
Másrészt az elemi geometria modelljeiben természetesen meg kell adnunk az egyenesnek megfelelő entitások halmazát, például a koordinátamodellben mint egy háromdimenziós vektortér egydimenziós altereinek eltoltjainak halmazát.
[szerkesztés] Jelentése
Habár nincs definiálva, mindenkiben él egy kép az egyenesről. A geometriában elsősorban néhány tulajdonságát használjuk ki:
- 1 dimenziós objektum, azaz pl. a tér egy irányában végtelen hosszú, a többiben kiterjedés nélküli.
- Két pont egyértelműen meghatározza, azaz ha két egyenesnek létezik két közös pontja, akkor az összes pontjuk közös.
[szerkesztés] Egyenes megadása az analitikus geometriában
- Egy egyenes egyenlete
- olyan egyenlet, melyet az egyenes minden pontja teljesít, és ha egy pont teljesíti, akkor rajta van az egyenesen.
- A síkban az egyenes egyenletének általában kétféle alakját használjuk (Descartes-koordinátarendszerben):
- Ha adott az egyenes egy pontja (x0;y0) és egy normálvektora[1]: Ax + By + C = 0, ahol A és B az egyenes normálvektorának első és második koordinátáját jelölik[2], a C konstansra pedig − C = Ax0 + By0 teljesül.
- Ha az egyenesnek egy pontja (x0;y0) és a meredeksége (vagy iránytangense)[3] adott: y = mx + b, ahol m a meredekség, a b konstansra pedig b = y0 − mx0 teljesül.
- A térben már kevésbé szép, ekkor egyenletrendszerekkel írhatjuk le:
- Adott pont (x0;y0;z0) és irányvektor[4] esetén:
, ahol A, B és C az irányvektor koordinátái, a t pedig egy valós paraméter. - Kicsit átalakítva az előző egyenlet rendszert (amennyiben
, azaz az irányvektor egyik koordinátája sem 0, nem párhuzamos egyik koordináta-tengellyel sem): 
- Adott pont (x0;y0;z0) és irányvektor[4] esetén:
- Az n dimenziós térben az egyenest egy n változós egyenletrendszer adja meg, amiben van egy független paraméter
[szerkesztés] Lásd még
[szerkesztés] Külső hivatkozások
[szerkesztés] Jegyzetek
- ^ Olyan vektor, ami merőleges az egyenesre
- ^ Gyakran felteszik, hogy a normálvektor egység hosszú, azaz A2 + B2 = 1. Ez elsősorban kényelmi szempont, mert ekkor sok számítás leegyszerűsödik.
- ^ Az egyenes és az x-tengely pozitív fele által bezárt szög (irányszög) tangense. Más megközelítésből: azt mondja meg, hogy az egyenes mennyit halad felfelé (negatív érték esetén lefelé), amíg 1-et megy jobbra. Függőleges egyeneseknél nincs értelmezve.
- ^ Olyan vektor, ami párhuzamos az egyenessel
