Dimenzió (lineáris algebra)
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.
A dimenzió a lineáris algebra egyik fontos fogalma.
Tartalomjegyzék |
[szerkesztés] Definíció
Egy V vektortér dimenziója tetszőleges bázisának elemszáma, számossága. Ennek jogosságát az a tétel biztosítja, miszerint bármely két bázis azonos számosságú. Jelölés 
.
Definíció alapján, ha V={0}, azaz a 0 tér esetén a dimenzió 0. Ha a vektortérnek nincs véges generátorrendszere, akkor dimenziója végtelen.
[szerkesztés] Példák
- F n dimenziója n, míg F n × k-é nk.
- az F feletti polinomok vektortere végtelen dimenziós
- a legfeljebb k-adfokú polinomok k+1 dimenziós alteret feszítenek ki.
- a közönséges térvektorok vektortere 3 dimenziós, ezek között bármely két, origó kezdőpontú, nem párhuzamos vektor kifeszít egy kétdimenziós alteret, síkot.
[szerkesztés] Tulajdonságok
- Ekvivalens feltételek
- V ≠ 0 vektortér, n ∈ N+
- dim V = n
- V-ben a maximálisan független vektorok száma: n
- V-ben a minimális generátorrendszer n elemű.
[szerkesztés] Altér dimenziója
- Ha
vektortér, 
, akkor 
. - Véges dimenziós vektortérre, ha , akkor
.
[szerkesztés] Rang
- Az a1,…,an vektorrendszer rangja r, ha az n vektor között a maximálisan független vektorok száma r.
[szerkesztés] Tulajdonságok
- Az a1,…,an vektorok által generált altér dimenziója
)
Nagyal,