Hamel bázis

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

A Hamel bázis a lineáris algebrában olyan vektorok egy csoportja, amelyek lineáris kombinációjaként a vektortér bármely eleme egyértelműen áll elő. A „Hamel bázis” elnevezés csak a Schauder bázistól való megkülönböztetésre használatos, egyértelmű esetekben egyszerűen bázisról beszélünk.

[szerkesztés] Definíció

Egy B ∈V vektorhalmaz, ami tartalmazhat véges vagy akár végtelen sok vektort is, definíció szerint akkor és csak akkor bázis, ha a vektortér minden eleme, lényegében egyértelműen, állítható elő véges sok, B-beli elem lineáris kombinációjaként. (Szemben a Schauder bázissal, ami végtelen sok elemmel való előállítást is megenged.)

Egész pontosan ez azt fejezi ki, hogy két előállítás csak nulla együtthatójú tagokban különbözhet egymástól. Formálisan ez azt jelenti, hogy

B bázis ⇔ bármely B₀ ⊆B ⊆ V véges vektorhalmazra

$\lambda_1\mathbf{v}_1+\ldots+\lambda_n\mathbf{v}_n=\mathbf{0} \Leftrightarrow \lambda_1=\ldots=\lambda_n=0,\ \forall\ \mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\ \in B_0$
$\forall\ \mathbf{v} \in V:\ \exists\ \mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_k \in B\ \wedge\ \lambda_1,\ldots,\lambda_k\ \in \mathbf{F}:\ \mathbf{v}=\lambda_1\mathbf{v}_1+\ldots+\lambda_k\mathbf{v}_k$

[szerkesztés] Tulajdonságok

A definíció folyományaként

Állítás: Egy v₁,…,v_n vektorrendszer akkor és csak akkor bázis, ha a vektortér minden eleme egyértelműen előáll a v₁,…,v_n vektorok lineáris kombinációjaként.

Egy adott V ≠ 0 vektortérben B bázis, akkor és csak akkor, ha a következő, ekvivalens feltételek közül valamelyik teljesül.

B maximális lineárisan független vektorrendszer V-ben.
B minimális generátorrendszer V-ben.

Feltétel bázis kiválasztására, illetve bázisra való kiegészítésre

Egy V ≠ 0 vektortér bármely (véges) generátorrendszere tartalmaz bázist.
Ha egy V vektortérnek van (véges) generátorrendszere, akkor bármely lineárisan független rendszer kiegészíthető bázissá.

[szerkesztés] Koordináták

Egy V vektortérben, egy rögzített b₁,…,b_n bázis mellett tetszőleges v ∈ V vektor egyértelműen írható fel

$\mathbf{v}=\alpha_1\mathbf{b}_1+\ldots+\alpha_n\mathbf{b}_n$

alakban.
Ekkor az $\alpha_i\$ skalárok a v vektor koordinátái, a b₁,…,b_n bázisra vonatkozólag.

[szerkesztés] Példák

a síkbeli, közönséges vektorok vektorterében bázist alkot a szokásos i, j ortonormált vektorpár.
hasonlóan $\mathbb{E}^3$ -ben a szokásos, jobbsodrású vektorhármas

$\mathbf{i}= \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \mathbf{j}= \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \mathbf{k}= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$\mathbb{R}^n$ -ben ortonormált bázist alkot az

$\mathbf{e}_1= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \mathbf{e}_2= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix},\ldots, \mathbf{e}_n= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}$

vektorhalmaz, mely $\mathbb{R}^n$ standard bázisa.

$\mathrm{F}^{n \times k}$ -ban bázis

$\begin{pmatrix} 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}_{n\times k}, \begin{pmatrix} 0 & 1 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}_{n\times k},\ldots, \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}_{n \times k}$

ahol 0, 1 az F test null- illetve egységeleme.

az F feletti polinomok vektorterében bázist alkotnak az

$\{1,x,x^2,\ldots,x^n,\ldots\}$

vektorok.

a legfeljebb k-adfokú polinomok egy bázisa: $\{1,x,x^2,\ldots,x^k\}$

[szerkesztés] Kicserélési tétel

Legyen f₁,…,f_n lineárisan független rendszer és g₁,…,g_n generátrrendszer egy V vektortérben. Ekkor bármely f_i-hez található olyan g_j, hogy

$\mathbf{f}_1,\ldots,\mathbf{f}_{i-1},\mathbf{g}_j,\mathbf{f}_{i+1},\ldots,\mathbf{f}_n$

is lineárisan független rendszer.

Bizonyítás: Tegyük fel indirekt, az általánosság megszorítása nélkül, hogy például f₁-re ez nem igaz, vagyis az f₂,…,f_n vektorokhoz akármelyik g_j-t hozzávéve mindig összefüggő rendszert kapunk. Mivel f₂,…,f_n független, így mindegyik g_j előáll ezek lineáris kombinációjaként. Ekkor a g_j-k minden lineáris kombinációja is felírható az f₂,…,f_n vektorokkal. A g_j-k azonban generátorrendszert alkotnak, azaz lineáris kombinációik kiadják az egész vektorteret. Így V minden eleme, speciálisan f₁ is előáll f₂,…,f_n lineáris kombinációjaként. De ez ellentmond f₁,…,f_n lineáris függetlenségének.

Kicserélési tételt felhasználva igazolható

Tétel: Legyen f₁,…,f_n lineárisan független rendszer és g₁,…,g_k generátorrendszer egy V vektortérben.; Ekkor n ≤ k.

Bizonyítás: Első lépésben f₁-et cseréljük ki valamelyik g_j-re, majd az így kapott új független rendszerből cseréljük ki f₂-t alkalmas g-re, és így tovább, egészen addig, míg az f_i-k el nem fogynak.; Az így nyert független rendszerben már csak g-k szerepelnek, és a függetlenség miatt nem lehet közöttük két egyenlő. Tehát legalább annyi g-nek kellett lennie, mint f-nek.

Következmény: Egy véges V vektortérben bármely két bázis azonos elemszámú.

Transzfinit eszközökkel igazolható, hogy minden vektortérnek van bázisa.
Ezt általában Hamel-bázisnak nevezik, és bizonyítható, hogy

Egy tetszőleges vektortér bármely két (Hamel-)bázisa azonos számosságú.

Ebből következik viszont, hogy a vektortér dimenziója jóldefiniált fogalom.

[szerkesztés] Lásd még

Kategória: Lineáris algebra

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Hamel bázis

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Definíció

[szerkesztés] Tulajdonságok

[szerkesztés] Koordináták

[szerkesztés] Példák

[szerkesztés] Kicserélési tétel

[szerkesztés] Lásd még

Views

Navigáció

részvétel

Keresés

Más nyelveken