עקרון ההתאמה של בוהר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

עקרון ההתאמה של בוהר פותח על ידי נילס בוהר בשנת 1923, ולפיו כאשר מערכת קוונטית שואפת אל הגבול הקלאסי, משמע בעבור מספרים קוונטים גדולים (וחבורת גלים) ההתנהגות של המערכת תתאים לתוצאות הקלאסיות. במילים אחרות, עבור סדרי גודל גדולים, או אנרגיות גבוהות, המשוואות הקוונטיות יתנו את התוצאות הקלאסיות, אותן ניתן לקבל מחוקים כמו חוקי ניוטון ומשוואות מקסוול.

בנוסף ניתן להראות על ידי עקרון ההתאמה כי בגבול של מהירויות נמוכות תורת היחסות מנבאת את התוצאות הקלאסיות.

[עריכה] תיאור הבעיה

עקרון ההתאמה נובע מהשאלה הבסיסית אשר הועלתה על ידי פיזיקאים בעקבות פיתוח מכניקת הקוונטים (המתארת חלקיקים בסדר גודל אטומי) - מתי הערכים והנוסחאות של המכניקה הקלאסית נכונים לשימוש לצורך תיאור התנהגותה של המערכת, ומתי יש להשתמש בכלים הקוונטיים. בעוד שמכניקת הקוונטים מתארת ברמה מדויקת למדי את תוצאות הניסויים ותצפיות בקנה המידה התואם, משמע חלקיקים בעלי מספר קוונטי קטן או בעלי אנרגיה כוללת בסדר גודל של מסת המנוחה של החלקיק, בקנה מידה היומיומי חוקי ניוטון ומשוואות מקסוול מתארים ומנבאים ברמה דיוק גבוהה את התוצאות הנצפות בניסויים. בקנה מידה כזה ניתן להתעלם באופן כללי מההשפעות הנובעות מתופעות קוונטיות, כמו עקרון אי הוודאות של הייזנברג.

דוגמה לכך היא האוסצילטור ההרמוני. בעבור ערכים נמוכים של המספר הקוונטי הראשי ההסתברות למציאת החלקיק בנקודה כלשהי איננה תואמת כלל וכלל את התוצאות הקלאסיות. בעוד שהתוצאה הקלאסית מנבאת את ההסתברות הגבוהה ביותר למציאת החלקיק בקצוות התנודה (בה שוהה האוסצילטור זמן רב יותר, כי שם מהירותו מתאפסת), התוצאה הקוונטית היא דווקא באמצע הדרך, אך כאשר האוסצילטור מתואר על ידי פונקציית גל עם ערכים גבוהיים אז התוצאה הקוונטית תואמת את הקלאסית.

[עריכה] עקרון ארנפסט

עקרון ארנפסט הוא באופן מסוים ניתן לתיאור כפתרון לבעיה הזו. על פי עיקרון, זה הממוצעים של מדידים קוונטיים מקימים את משוואות התנועה הקלאסיות. בצורה מתמטית ניסוח העיקרון הוא $\frac {d<A>}{dt}= \frac{i}{\hbar}<[H,A]>$ כאשר $[H, A]$ הוא הקומטטור של האופרטור A ו<.> מצינים את הממוצע של הערך בכתיב דיראק. H הוא ההמילטוניאן, i הוא המספר הדמיוני.

לצורך דוגמה ניבחר חלקיק חופשי במימד אחד ונבחן את המיקום שלו, ידוע כי יחס הקומטטור או יחס החילוף מקיים $[H,X]=[\frac{P^2}{2M} ,X]=\frac{\hbar P}{iM}$ כעת נציב במשפט ארנפסט ונקבל $\frac{d<x>}{dt}=\frac{i}{\hbar}*< \frac{\hbar P}{i*M} >= \frac{<P>}{M}$ אך ידועה התוצאה הקלאסית $p=mv=m\frac{dx}{dt}$ לכן זה תואם את מה שקיבלנו.