מתומן

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

מתומן משוכלל
מתומן משוכלל
צלעות וקודקודים	8
סימול שלאפלי	{8} t{4}
דיאגרמת קואקסטר-דייקין
חבורת סימטריות	חבורה דיהדראלית (D₈)
שטח (t הוא אורך הצלע)	$2(1+\sqrt{2})t^2$ $\simeq 4.828427 t^2.$
זווית פנימית (מעלות)	135°

מתומן (אנגלית: Octagon) הוא מצולע בעל שמונה צלעות. מתומן משוכלל מיוצג בסימול שלאפלי {8}.

מתומן היא הצורה של חפצים רבים כגון תמרורי דרכים או כפתורי לחיצה.

[עריכה] מתומן משוכלל

מתומן משוכלל הוא מתומן שכל צלעותיו שוות וכל זוויותיו הפנימיות שוות. הזווית הפנימית בכל קודקוד של מתומן משוכלל היא 135°, וסכום כל הזוויות הפנימיות הוא 1080°.

השטח של מתומן משוכלל שאורך הצלע שלו הוא a נתון בנוסחה

$A = 2 \cot \frac{\pi}{8} a^2 = 2(1+\sqrt{2})a^2 \simeq 4.828427 a^2$

כאשר משתמשים ב-R (הרדיוס המקיף) השטח הוא

$A = 4 \sin \frac{\pi}{4} R^2 = 2\sqrt{2}R^2 \simeq 2.828427 R^2$

כאשר משתמשים ב-r (הרדיוס הפנימי) השטח הוא

$A = 8 \tan \frac{\pi}{8} r^2 = 8(\sqrt{2}-1)r^2 \simeq 3.3137085 r^2$

שני המקדמים האחרונים מגדילים את ערכו של הקבוע המתמטי פאי. נוסחה נוספת למציאת השטח היא

A = S 2 - B 2

כאשר S הוא האינטרוול של המתומן, או האלכסון השני באורכו, ו-B הוא האורך של אחת הצלעות, או הבסיסים. ניתן להוכיח זאת אם לוקחים מתומן, מציירים סביב הצד החיצוני שלו ריבוע (כאשר ארבע מתוך שמונה הצלעות של המתומן נוגעות בכל אחת מצלעות הריבוע, ואז משתמשים בזוויות הפינתיות (במשולשים ישרי הזווית) ומניחים אותם כאשר הזווית הישרה מצביעה פנימה, ויוצרים ריבוע. הקצוות של ריבוע זה הן אורך הבסיס. דרך זו היא הפשוטה ביותר לחישוב השטח.

אולם, דרך מדויקת יותר היא זאת: לוקחים את המקדם של השורש הריבועי של אחת הצלעות, ומכפילים אותו בשלוש. ההוכחה לכך היא בעובדה שהמקדם של פאי, כפי שהוכח על ידי ארכימדס שווה לפעמיים הסינוס של כל משולש נתון כאשר כל הצלעות שוות לעצרת של הצלעות השונות, ובייחוד אלו של ריבוע מסוג זה. כיוון שבמתומן יש שלושה משולשים כאלה בחלק הפנימי של הקמור, וכאשר S נתון, אזי האורך של הצלע B יהיה

$B = S/(1+\sqrt{2}).$