מכניקת הזורמים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

מכניקת הזורמים הנה ענף פיזיקלי מתחום מכניקת הרצף (ראו פירוט בהמשך) העוסק בחקר הזורמים (קרי: נוזלים וגזים, בהקשרים מסוימים אף פלזמה), תכונותיהם ובכוחות הפועלים עליהם. מכאן, ניתן להסיק מידע על תנועתם של הזורמים הנקראת "זרימה" ולהפיק יישומים חשובים רבים בתחומי הנדסת המים, הנדסת אווירונאוטיקה והנדסת המכונות בהם אנו עושים שימוש יום-יומי. לענף פיזיקלי זה ישנם תחומי משנה נוספים, כאשר העיקריים שבהם הם הידרודינמיקה החוקרת את תנועת הנוזלים, הידרוסטטיקה החוקרת את מאפייני הנוזלים הנמצאים במנוחה והאווירודינמיקה החוקרת את תנועתם של גזים.

מכניקת הזורמים הנה ענף פיזיקלי וותיק אשר ראשיתו עוד בימי יוון העתיקה בהם חקר ארכימדס את תכונותיהם של נוזלים ופיתח את בורג ארכימדס. מאז, התפתח ענף זה רבות ועד היום הוא מהווה שדה מחקר פעיל. הבסיס המתמטי העומד מאחורי מכניקת הזורמים הוא לעתים מורכב מאוד וחלק ממשוואותיה אינן ניתנות לפתרון אנליטי. עם ההתקדמות הטכנולוגית והתפתחות המחשוב, מנוצלות כיום יכולותיו של המחשב על מנת להיעזר ביכולתיו לביצוע חישובים נומריים לצורך ניתוח מערכות מורכבות המתארות זורמים.

מנומטר, כלי המשמש למדידת לחץ

תוכן עניינים

1 היסטוריה
2 הנחות היסוד
3 כלים בסיסיים של מכניקת הזורמים
- 3.1 מונחים בסיסיים בתורת הזרימה
4 יישומים
5 הערות שוליים
6 קישורים חיצוניים
7 ראו גם

[עריכה] היסטוריה

אנימציה המדגימה את עקרון פעולתו של בורג ארכימדס

הראשון שעסק במכניקת הזורמים באופן אשר הותיר אחריו חותם היסטורי היה ארכימדס, אשר בין גילוייו העיקריים נמנים חוק ארכימדס ובורג ארכימדס. ברחבי הקיסרות הרומית נעשה שימוש במכונות הידראוליות נוספות לצורך הספקת ושינוע מים. המהנדס הרומי ויטרוביוס הציע לראשונה את טחנת המים, טכנולוגיה מהפכנית דאז, במאה הראשונה לפני הספירה. מאז, במשך שנים רבות, נותר ענף זה ב"תרדמת" עד להופעת מחקריו של המתמטיקאי והפיזיקאי אוונגליסטה טוריצ'לי, אשר בשנת 1643 המציא את הברומטר וניסח את עקרון טוריצ'לי. הצרפתי בלז פסקל ניסח באותה תקופה את חוק פסקל, המהווה את אחד מחוקי הבסיס של ההידרוסטטיקה.

"זריקת מרץ" לחקר תחום הזורמים התקבלה עם ניסוח חוקי המכניקה החשובים על ידי אייזק ניוטון, אשר סיפק את הפורמליזם הפיזיקלי הדרוש. הפיזיקאי והמתמטיקאי לאונרד אוילר, אשר חי במאה ה-18, ניסח על סמך פורמליזם זה את משוואות אוילר, המתארות זורמים. בשנת 1739 פרסם דניאל ברנולי את משוואת ברנולי, המהווה את אחד מהכלים החשובים בהידרודינמיקה ובאווירודינמיקה (ראו בהמשך).

הראשונים שחקרו את השפעותיו של החיכוך על הזרימה היו, באופן בלתי תלוי, הצרפתי ז'אן לואי מארי פואזיי , אשר חקר את תנועת הדם בשנת 1839, וגוטהילף היינריך לודוויג האגן , בשנת 1840. המחקר בדבר השפעות הצמיגות על הזרימה התקיים אף הוא באופן בלתי תלוי על ידי קלוד לואי מארי נווייה בשנת 1827 ועל ידי הבריטי גבריאל סטוקס בשנת 1845. הידע אשר צברו מנוסח במשוואת נווייה-סטוקס.

מחקרים אשר בוצעו במאה ה-19 על זרימה במהירויות גבוהות עם חיכוך בלתי זניח עמדו בסתירה, לכאורה, לצפי על פי עיקרון ברנולי. את הפתרון לסתירה זו הסביר בשנת 1883 אוסבורן ריינולדס , אשר הראה כי קיימים שני "משטרי זרימה" הנבדלים זה מזה בתכונותיהם. באופן כללי, מחקריו מראים כי במהירויות גבוהות הזרימה מפסיקה להיות "לוחית" והופכת "עירבולית" יותר, כך שישנו קושי בתיאור אנליטי מלא שלה. במהלך המאה ה-19 גבר העניין בזרימת האוויר, וכך נוצלו עקרונות מכניקת הזורמים על ידי חלוצי התעופה הראשונים, ביניהם האחים רייט.

חלק מהקושי הרב בניתוח זרימה של זורמים צמיגיים נפתר על ידי עבודתו של לודוויג פרנדטל, אשר פרסם בשנת 1904 מודל המפשט את ניתוח המערכות מסוג זה על ידי חלוקת הזורם לשני חלקים, חיצוני ופנימי - בחיצוני מרוכזת רוב השפעת הצמיגות, ובפנימי ניתן להזניחה. מודל זה, הפשוט יותר מזה אשר מספקת משוואת נווייה-סטוקס, איפשר התקדמויות נוספות על ידי חוקרים בתחום. בעידן המודרני, עם הופעת המחשוב, נוצר פתח לשימוש בכוחו החישובי הרב לצורך תיאור מערכות זורמים אשר להן תיאור מתמטי מורכב.

[עריכה] הנחות היסוד

את תנועתם של גופים מוצקים ניתן לתאר על ידי כלים של המכניקה הקלאסית תחת הנחה שצורתם אינה משתנה תמידית. לעומתם, ייחודיותה של מכניקת הזורמים נובעת מן העובדה שלזורמים אין צורה קבועה, שכן הם מקבלים את צורת הכלי בו הם נמצאים. יתר על כן, לגז אין אף נפח קבוע; בעוד שמוצקים הנם, לרוב, בלתי-דחיסים, גזים ואף חלק מהנוזלים הנם דחיסים, ולכן בעת ניתוח תנועתם ניתנת תשומת הלב אף לעובדה הזו (הגם שישנם מודלים בהם מוזנחת תכונה זו). תכונה נוספת של הזורמים הנה הצמיגות, המתארת את התנגדותו הפנימית של הזורם לזרימה, זוהי תכונה נוספת עליה ניתנת הדעת בעת ניתוח של מערכות זורמים.

מכניקת הזורמים משתייכת מבחינה רעיונית למכניקת הרצף, אשר בבסיסה עומדת "הנחת הרצף" הקובעת כי לצרכים מסוימים, ובפרט עבור ניתוח תכונות מסוימות של זורמים, ניתן להתייחס אל החומר כאל רציף ולהזניח את מבנהו הפנימי, כלומר – להתעלם מהיותו מורכב ממולקולות. מכניקת הזורמים עושה פעמים רבות שימוש במונח ה"אלמנט" על מנת לתאר חלק קטן מן הזורם ומסתפקת ברמת פירוט זו. הנחת הרצף הנה, מטבעה, מודל המהווה קירוב של המציאות. ככל קירוב, ישנן מספר מגבלות דיוק הנובעות מהשימוש בו, ולכן במקרים בהם השערה זו איננה תואמת את צורכי המשתמש, נעשה הניתוח תוך שימוש בכלים אחרים, בפרט מכניקה סטטיסטית - ההבחנה בין המקרים נעשית בעזרת מספר קנודסן.

נוסף על הנחה זו, מתבסס הניתוח של מערכות זורמים על חוקי השימור הבסיסיים המוכרים מעולם המכניקה, ביניהם שימור המסה, התנע והאנרגיה.

[עריכה] כלים בסיסיים של מכניקת הזורמים

איור המדגים את חוק הכלים השלובים

בהתבסס על הנחות היסוד אשר תוארו לעיל, נעזרת מכניקת הזורמים במספר כלים לתיאור וניתוח הזורמים. בהתבסס על מאפייני הלחץ והכוחות אשר נלמדים במכניקה הקלאסית, מתקבלים חוקי ההידרוסטטיקה הבסיסיים. כך, למשל, חוק ארכימדס, שהוא אחד מחוקי ההידרוסטטיקה הבסיסיים ביותר, קובע כי כוח העילוי הפועל על גוף שנמצא בתווך (נוזל או גז) שווה למשקלו של תווך בעל נפח זהה. חקר הלחץ ההידרוסטטי מניב מספר תוצאות מעניינות כגון חוק הכלים השלובים וחוק פסקל.

בהתבסס על חוקי השימור הקלאסיים מנוסחים חוקי היסוד של תורת הזורמים תוך התאמתם למונחים המתארים זורמים וזרימה. כך, עבור תיאור התנועה, מתקבלות משוואת הרציפות^[1] הנובעת ישירות משימור המסה וכן משוואות שימור התנע^[2]. בהידרודינמיקה, עבור ההנחה כי הזורם הנו ברוטרופי, קרי - מניחים כי הצפיפות תלויה בלחץ בלבד ללא תלות בטמפרטורה, בהסתמך על חוקי השימור אשר הובאו לעיל, מתקבלת משוואת ברנולי. חוקים נוספים חשובים המתארים את תנועת הזורם הם חוק פואזי ומשפט סטוקס.

[עריכה] מונחים בסיסיים בתורת הזרימה

ערך מורחב – מונחים בתורת הזרימה

על מנת לתאר את תנועתו של הזורם, תחום בו עוסקת ההידרודינמיקה, ניעזרים במכניקת הזורמים במספר מונחים נוספים המאפשרים ניתוח וסיווג של הזורם והזרימה.

[עריכה] קווי זרם, קווי מסלול וקווי שיטוח

קו מסלול או קו זרימה הוא עקום המתאר את תנועת החלקיק. נקרא גם קו חלקיק. כאשר עקום זה קבוע, הזרימה הנה זרימה תמידית.

קו זרם הוא עקום המשיק לוקטור המהירות בכל נקודה בזמן מסוים ^[3]. מכיוון שקו זרם מתאר תנועה של חליקים, אפשר לומר שמסה לא חוצה אותו. טיעון זה ברור יותר כאשר מדובר בזרימה דו-ממדית.

קו שיטוח הוא עקום המתאר קבוצת חלקיקים שעברו בפרק זמן מסוים דרך נקודה מסוימת.

משטח זרם או שפופרת זרימה הוא רצף של קווי זרם הצמודים זה לזה. אם נבחר עקום שרירותי שאינו קו זרם, כל קווי הזרם שיעברו דרכו יוצרים משטח זרם. לכן, דרך משטח זרם לא עוברת מסה.

[עריכה] סוגי זורמים

ערך מורחב – סוגי זורמים

לצורך תיאור תנועתו של זורם יש צורך בתיאור תכונותיו. לצורך זה, מבוצעת מספר הבחנות בין סוגי זורמים שונים. זורם אשר במצב סטטי איננו משנה כמעט את צפיפותו, גם בתנאי לחץ גבוה, נחשב לזורם בלתי דחיס. לעומתו, זורם אשר במצב סטטי צפיפותו משתנה כתוצאה משינוי בלחץ, נחשב לזורם דחיס.

פרמטר נוסף הנחוץ לצורך תיאור הזרימה הוא צמיגות: צמיגות היא התנגדות הזורם לעיבור (שינוי צורה) תחת מאמץ גזירה. הצמיגות נתפסת לעתים קרובות כסמיכות, או התנגדות למזיגה. הצמיגות מתארת את התנגדותו הפנימית של הזורם לזרימה, וניתן לחשוב עליה כעל מידה של חיכוך. דבש ושמן הם דוגמאות לזורמים צמיגים.

הבחנה נוספת מתבצעת בין נוזל ניוטוני לנוזל לא ניוטוני, כאשר זורם ניוטוני הוא זורם איזוטרופי שבו מאמצי הגזירה נמצאים ביחס ישר לקצב עיבור הגזירה. במילים אחרות, מאמץ על זורם ניוטוני תלוי בקצב העיוות של צורת נפח הזורם (ללא שינוי בנפחו).

[עריכה] סוגי זרימה

ערך מורחב – סוגי זרימה

ערבול - זרימה לא תמידית

מתבצעת הבדלה בין מספר סוגי זרימה שונים, על פי מספר פרמטרים.

מבחינת צורת הזרימה, מבחינים בין "זרימה קבועה", ל"זרימה עירבולית". בזרימה קבועה, אם "נצלם" את הזורם ברגעים שונים, נראה את אותה התמונה. זרימה כזו נוחה לטיפול מכיוון שכל הפרמטרים התלויים בזמן או נגזרותיהם - מתאפסים. בזרימה עירובולית, לעומת כך, מתאפיין הזורם בחוסר אחידות צורנית וב"ערבול" המקנה לזרימה את שמה.

הפרדה נוספת מתבצעת בין "זרימה לוחית" (או זרימה "למינרית") לבין זרימה "טורבולנטית". בזרימה למינרית, מתייחסים לזורם כאילו הוא עשוי משכבות דקות מאוד רבות, הנעות במקביל זו לזו וכל אחת מהן בכיוון הזרימה של הזורם כולו. בזרימה טורבולנטית, מתייחסים לזורם כולו בצורה ממוצעת שכן יש ערבוב של ה"שכבות" של המודל הלמינרי והוא הופך בעצם ללא מתאים. עבור שני "משטרי הזרימה" לעיל, נמצאו משוואות אמפיריות (שונות) המתארות בצורה די טובה את התהנהגותם של הזורמים.

[עריכה] יישומים

תרשים המדגים את הגדלים העיקריים במשוואת ברנולי

למכניקת הזורמים יישומים חשובים רבים בתחומי הנדסת המים, הנדסת אווירונאוטיקה והנדסת המכונות בהם אנו עושים שימוש יום-יומי. מכניקת הזורמים משמשת את האנושות מזה זמן רב, החל ממשאבות המים הפשוטות נוסח בורג ארכימדס וכלה בטורבינות המפיקות זרם חשמלי בעזרת עצמתם של זורמים או בלחץ האוויר הפועל על כנף המטוס.

כך, למשל אחד מן העקרונות החשובים בבסיס תורת הזורמים הנו עיקרון ברנולי הקובע כי ככל שמהירות זרימתו של זורם על גבי משטח גבוהה יותר, הזורם יפעיל פחות לחץ על המשטח. עיקרון זה עומד בבסיס אופן פעולתם של כנף המטוס ומפרש הסירה. להרחבה ראה "משוואת ברנולי". חוק פסקל הוא העומד בבסיס עיקרון הפעולה של הבוכנה ההידראולית.

[עריכה] הערות שוליים

^ בצורתה האינטגרלית המוכללת נראית משוואה זו כך: $\frac{\partial}{\partial t} \iiint\limits_{C.V.} \rho dV + \iint\limits_{C.S} \rho \vec{v}\cdot d\vec{A}=0$ , כאשר V הוא נפח הבקרה, S הוא שטח המעטפת ו- $\ \vec{v}$ הוא שדה המהירות. בגרסתה הפשוטה הביותר, עבור נוזל אי-דחיס אשר תנועתו קבועה: $\ Av=Const$ כאשר A הוא שטח החתך.
^ משוואת שימור התנע האינטגרלית היא : $\frac{\partial}{\partial t} \iiint\limits_{C.V.} \rho\vec{v}dV + \iint\limits_{C.S} \rho\vec{v} (\vec{v}\cdot d\vec{A})=\sum_{C.V,C.S}\vec{F}_{body/flow}$ כאשר $\ \vec{F}_{body/flow}$ הוא סכום הכוחות שהגוף מפעיל על הזורם.
^ ולכן על קו זרם מתקיים $\ \vec{v} \times d\vec{s}=0$ ומכאן נובע: $\ \frac{dx}{u}=\frac{dy}{v}=\frac{dz}{w}$ כאשר $\ \vec{v}=u\hat{x}+v\hat{y}+w\hat{z}$ הוא שדה המהירות בקוארדינטות קרטזיות ו $\ d\vec{s}$ הוא אלמנט קו-זרם.