יחס נפיצה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בפיזיקה, יחס נפיצה הוא הקשר (המתמטי) בין האנרגיה E של המערכת לתנע $\vec{p}$ שלה; או לחילופין הקשר בין התדירות של גל $ω$ לוקטור הגל $\vec{k}$ או מספר הגל k, כלומר: הפונקציה $\ \omega (k)$ . במכניקת הקוונטים ומכניקה סטטיסטית מדברים גם על יחס נפיצה בין האנרגיה לוקטור הגל.

[עריכה] דוגמאות ליחסי נפיצה

[עריכה] חלקיק חופשי קלאסי

עבור חלקיק חופשי יחס הנפיצה הוא:

$E = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{p^{2}}{2m} = \frac{\hbar^{2} k^2}{2m}$

כלומר: האנרגיה תלויה בתנע בצורה ריבועית.

למערכות מורכבות יותר יהיה יחס נפיצה מורכב יותר או שונה.

[עריכה] חלקיק חופשי יחסותי

עבור חלקיק יחסותי בעל מסה שונה מאפס, יחס הנפיצה הוא $\ E = \sqrt{ c^2 p^2 + m^2 c^4 }$ . יחס זה מתקבל מהגדרת 4-וקטור התנע (שרכיבו הזמני הוא האנרגיה) וגם ממשוואת קליין-גורדון.

[עריכה] אופטיקה ופוטונים

עבור גל אלקטרומגנטי בריק, האנרגיה פרופורציונית לתדירות ( $E = \hbar \omega$ ) והתנע לוקטור הגל ( $\ \vec{p} = \hbar \vec{k}$ ). במקרה זה, משוואות מקסוול מגלות לנו שיחס הנפיצה הוא לינארי:

$\omega = c | \vec{k} | = ck$

כאשר הסתמכנו על יחס הנפיצה היחסותי לפוטון, חלקיק חסר מסה, $\ E = c p$ .

ניתן להסיק את מהירות הגל באמצעות יחס הנפיצה:

$v = \frac{\partial E}{\partial p} = \frac{\partial \omega}{\partial k} = c.$

וזוהי מהירות האור.

השם יחס נפיצה בא במקור מאופטיקה, בא מתקיימת תופעה של נפיצה בתווך אופטי: מהירות הגל תלויה באורך הגל ( $λ = 2π / k$ ), כלומר: יחס הנפיצה איננו לינארי. תופעה זו מתרחשת כאשר האור עובר בתווך ולו מקדם שבירה לא קבוע התלוי באורך הגל או כאשר האור עובר דרך תווך לא-אחיד כגון מוליך גלים. במקרה זה, חזית הגל תימרח בזמן וכך פולס צר יהפך לפולס ארוך, כלומר: ינפץ. בחומרים אלה, הגודל $\frac{\partial \omega}{\partial k}$ ידוע כמהירות חבורה ומאפיין את התקדמות השיא או המידע שנושא הגל, ולה ערך שונה ממהירות הפאזה.

[עריכה] מצב מוצק

כאשר חוקרים מוצקים, מחקר יחס הנפיצה של אלקטרונים הוא בעל חשיבות גדולה. משמעות המחזוריות של הגביש היא שעבור תנע נתון, ישנם הרבה רמות אנרגיה אפשריות, ושייתכן שמספר אנרגיות לא יהיה אפשריות עבור כל תנע. האוסף של כל האנרגיות האפשריות והתנעים האפשרים ידוע כמבנה פסים של החומר. תכונות מבנה הפסים קובעות האם החומר מוליך או מבודד.

[עריכה] פונונים

יחס הנפיצה של פונונים גם הוא חשוב ולא-טריוויאלי. רוב המערכות מציגות שני פסים נפרדים בהם פוטונים. פוטונים בפס החוצה את ראשית הצירים ידועים כפונונים אקוסטים והענף ביחס הנפיצה ידוע כהענף האקוסטי ואילו הענפים האחרים נקראים [ענפים אופטים.

לדוגמה: גלי קול בגביש מקיימים את יחס הנפיצה הבא:

$\omega=2\Omega\sin\left(\frac{ka}{2}\right)$

עבור ka<<1 מתקבל יחס נפיצה לינארי:

$\omega=\Omega\ a k = v k$

כאשר המהירות $\ v = \Omega a$ היא מהירות הקול בחומר.

גל/פונון עם יחס נפיצה לינארי נקרא גל אקוסטי.

[עריכה] הסקת תכונות פיזיקליות

תכונות פיזיקליות רבות של המערכת, כגון מהירות, ניתן להרחיב למערכות אחרות אם הן מבוטאות במונחים של יחס נפיצה. במערכת מכנית קלאסית, המהירות ניתנת להגדרה כ:

$v = \frac{\partial E}{\partial p} = \frac{p}{m}$

(זוהי בעצם אחת ממשוואות המילטון: $\ \dot{r} = \frac{\partial H}{\partial p}$ ).

עבור גז אידאלי (גז קלאסי, גז פרמי או גז בוזה) D-ממדי בעל יחס נפיצה $\ E \sim |\vec{k}|^\sigma$ מתקיים הקשר הבא בין הלחץ P, הנפח V והאנרגיה U:

$\ PV = \frac{\sigma}{D} U$

כך למשל,

עבור גז אידאלי קלאסי תלת-ממדי D=3 ו- $σ = 2$ מקבלים : $\ PV = \frac{2}{3} U = NK_bT$ (משוואת המצב של גז אידאלי) כאשר השתמשנו בקשר $\ U = (3/2)NK_bT$ .
עבור קרינת גוף שחור או קרינת פוטונים תרמית D=3 ו- $σ = 1$ ומקבלים: $\ PV = \frac{1}{3} U$ .