המילטוניאן

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

ההמילטוניאן הוא פונקציה חשובה מאוד במכניקה אנליטית ובפיזיקה המודרנית - כולל במכניקה, באלקטרומגנטיות ובמכניקת הקוונטים. ההמילטוניאן הוא פונקציה המהווה אפיון שלם של מערכת פיזיקלית: באמצעות ההמילטוניאן וחוקי הפיזיקה אפשר לגזור את משוואות התנועה של המערכת הפיזיקלית המתוארת על ידי ההמילטוניאן. במילים אחרות, הצורה של ההמילטוניאן קובעת את ההתפתחות של המערכת בזמן.

ברוב המקרים אפשר לתת להמילטוניאן הגדרה טכנית קולעת: זו האנרגיה של המערכת כאשר היא רשומה כפונקציה של המשתנים הקנוניים שלה.

[עריכה] מבוא אינטואיטיבי

ברוב המקרים המעניינים, ההמילטוניאן (מסומן ב-H) הוא בעצם האנרגיה של מערכת פיזיקלית, כאשר היא רשומה כפונקציה של המשתנים הקנוניים של המערכת, דהיינו קואורדינטות מוכללות ומשתני התנע הצמודים-קנונית שלהן, למשל קואורדינטה של המיקום בציר $\ x\$ והתנע המתאים לה, $\ p_x\$ (שמקרה זה התנע המוכלל הוא התנע הקווי הרגיל $\ mv_x\$ , או כדוגמה אחרת, זווית הסיבוב $\ \phi\$ סביב ציר $\ z\$ , והתנע הצמוד לה $\ p_\phi\$ שהוא בעצם התנע הזוויתי בציר $\ z\$ , כלומר $\ p_\phi=mr^2\dot{\phi}^2\$ . כלומר: ההמילטוניאן הוא ביטוי המתאר כיצד האנרגיה של גוף תלויה בתנע שלו ובמקום שלו. באמצעות ההמילטוניאן אפשר לאפיין מערכת בשלמות ואף לחשב כיצד היא תתקדם בזמן ומה יהיה מצבה בכל רגע ורגע.

דוגמה פשוטה: נניח גוף הנע תחת השפעת כוח מחזיר $\ F = -m \omega^2 x$ של מתנד הרמוני חד-ממדי. אזי האנרגיה הפוטנציאלית של הגוף היא $\ U = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ ואילו האנרגיה הקינטית שלו היא $\ T = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{p^2}{2 m}$ כאשר $p = m v$ הוא התנע של החלקיק. ההמילטוניאן יהיה אז $\ H(p,x) = T + U = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ . ההמילטוניאן מתקבל כאשר רשמנו את האנרגיה כפונקציה של המקום (קואורדינטה קנונית) ושל התנע (תנע קנוני הצמוד למקום). באמצעות משוואות המילטון אפשר למצוא את הפונקציות $\ p(t) \ , \ x(t)$ שיתארו את תנועתו האמיתית של הגוף - כלומר: מהו מיקומו והתנע שלו בכל רגע.

[עריכה] הגדרה קלאסית

[עריכה] ההגדרה הקנונית

ההמילטוניאן הוא למעשה התמרת לז'נדר של הלגראנז'יאן ונתון באופן הבא:

$\ H = \sum_i p_i \dot{q}_i - L(q,\dot{q})$

כאשר $\ p_i\$ הוא התנע הקנוני של $\ q_i\$ ונתון על ידי $\ p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}$ .

אם האנרגיה הקינטית היא תבנית בילינארית של המהירויות אזי ההמילטוניאן שווה לאנרגיה של המערכת. למשל במימד אחד, במקרה שבו האנרגיה הקינטית היא פשוט $\ E_k = {1 \over 2} m (\dot{x})^2$ ההמילטוניאן נראה כך:

$H = \frac{p^2}{2m} + V(x)$

כאשר $\ V\$ הוא האנרגיה הפוטנציאלית או בקיצור "הפוטנציאל".

[עריכה] משוואות המילטון

כדי לגזור מ H את משוואות התנועה יש לפתור את משוואות המילטון:

$\dot{q}_i=\frac{\partial H}{\partial p_i},\ \ \dot{p}_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i}\$ , וכמו כן מתקיים $\frac{\partial H}{\partial t} = - \frac{\partial L}{\partial t}$

שמהם מקבלים את משוואות התנועה. צמד משוואות אלה שקול למשוואת אוילר-לגראנז'.

את משוואות המילטון ניתן להסיק באמצעות עקרון הפעולה המינימלית של המילטון כאשר מבוצע על הפונקציונל שנקרא פעולה, שהוא בעל הצורה המיוחדת הבאה:

$S[q,p] = \int_{t_1}^{t_2}[\sum_i p_i\dot{q}_i-H(q_i,p_i)]dt$

[עריכה] לקריאה נוספת

ראו גם:

ידע מתמטי:

האנשים שפיתחו את הלגראנז'יאן וההמילטוניאן:

[עריכה] המילטוניאן במכניקת הקוונטים

במכניקת הקוונטים ההמילטוניאן הוא אופרטור הרמיטי (ולכן מהווה גודל פיזיקלי מדיד) שמייצג את האנרגיה של המערכת. להמילטוניאן יש תפקיד חשוב מאוד במכניקת הקוונטים מלבד היותו אופרטור שמודד אנרגיה. ההמילטוניאן הוא זה שקובע את התפתחות המצב הקוונטי של המערכת בזמן באמצעות משוואת שרדינגר:

$\ i \hbar \frac{d}{dt} | \psi \rang = H | \psi \rang$

פתרון משוואה זו (עבור המילטוניאן שאינו תלוי בזמן) הוא

$\ | \psi (t) \rang = e^{-iHt/\hbar} | \psi (0) \rang$

ואומרים שההמילטוניאן הוא היוצר של התפתחות המערכת בזמן.

הדוגמה הפשוטה ביותר היא של מערכת עם חלקיק אחד. בבסיס המקום (r), אופרטור התנע מוצג כ $\ \vec{p} = \frac{\hbar}{i} \vec{\nabla}$ . ההצגה של ההמילטוניאן בבסיס זה היא לפיכך