אינברסיה (גאומטריה)
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
בגאומטריה, אינברסיה או היפוך היא העתקה של המישור אל עצמו, המחליפה את הפנים והחוץ של מעגל נתון C. העתקה זו, שיש לה חשיבות מרכזית במודלים אוקלידיים של הגאומטריה הפרויקטיבית, נחקרה לראשונה על ידי הגאומטרן יעקב שטיינר בסוף המאה התשע-עשרה.
אם מרכזו של המעגל C הוא הנקודה O ורדיוסו r, אז האינברסיה מוגדרת כך שתעביר נקודה P אל הנקודה 'P המצויה על הקרן המחברת את המרכז O אל P, באופן שמכפלת המרחקים של P ושל 'P מ-O שווה לריבוע הרדיוס: 
. מן ההגדרה נובע שהאינברסיה מחזירה את הנקודה 'P אל הנקודה P. הנקודות P ו-'P צמודות זו לזו ביחס למעגל.
על-פי תאור זה, תמונתה של הנקודה O אינה מוגדרת, ולכן מקובל להוסיף למישור את "הנקודה באינסוף", שהיא בת-זוגתה של O. ניתן להגדיר באופן דומה גם אינברסיה ביחס לכדור, במרחב תלת-ממדי, או ביחס לכדור n ממדי.
אם P נמצאת על שפת המעגל, אז היא צמודה לעצמה, כלומר P'=P; בכל מקרה אחר, אחת משתי הנקודות הצמודות נמצאת מחוץ למעגל, ואחת בתוכו. אם P היא הנקודה שמחוץ למעגל ו-Q הנקודה על המעגל שבה נוגע המשיק PQ, אז 'P היא הנקודה שבה פוגש הגובה היורד מ-Q במשולש OPQ, את היתר OP.
תכונתה החשובה ביותר של האינברסיה, שהיא שומרת על מעגלים וישרים: כל מעגל וכל ישר עובר תחת העתקה זו למעגל או לישר. עם זאת, מרכזו של מעגל E העובר למעגל 'E, בדרך כלל אינו עובר למרכזו של 'E. מעגל שאינו עובר דרך O, עובר למעגל אחר שאינו עובר דרך O. ישר העובר דרך O, מועתק אל עצמו, ומעגל העובר דרך O, עובר לישר שאינו עובר דרך O. ישר או מעגל E החותך את C, יעבור לישר או מעגל 'E החותך את C. מעגל המוכל ב-C ואינו עובר דרך O, יעבור למעגל המכיל את C - ולהיפך.
האינברסיה היא העתקה קונפורמית, כלומר, היא שומרת על זוויות בין ישרים. כך יעברו מעגלים משיקים למעגלים (או ישרים) משיקים, ומעגלים מאונכים למעגלים (או ישרים) מאונכים.
