Kvanttisähködynamiikka

Wikipedia

Kvanttisähködynamiikka (QED) on sähkömagnetismin relativistinen kvanttikenttäteoria. QED kuvaa sähköisesti varattujen hiukkasten vuorovaikutustapahtumat, jotka tapahtuvat fotonien välityksellä. Sitä sanotaan usein "fysiikan helmeksi", koska se kuvaa äärimmäisen tarkasti elektronin anomaalisen magneettimomentin arvon ja vedyn energiatasojen Lambin siirtymän.

[muokkaa] Matematiikka

Matemaattisesti, QED:llä on abelisen mittateorian rakenne, jonka symmetriaryhmänä toimii U(1) mittaryhmä. Mittakenttä, joka kuljettaa varattujen spin-1/2-kenttien välisen vuorovaikutuksen on sähkömagneettinen kenttä. QED:n Lagrangen tiheys elektronin ja positronin väliselle fotonien kuljettamalle vuorovaikutukselle on muotoa

$\mathcal{L}=\bar\psi(i\gamma^\mu D_\mu-m)\psi -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}. \,$

missä

$\gamma_\mu \,\!$ ovat Diracin matriiseja.

$\ \psi$ ja sen Diracin adjointti $\bar\psi$ ovat kenttiä, jotka esittävät sähköisesti varattuja hiukkasia, erityisesti elektronin ja positronin kentät esitetään Diracin spinoreina.

$D_\mu = \partial_\mu+ieA_\mu \,\!$ on mittakovariantti derivaatta, missä $\ e$ on kytkennän voimakkuus (sama kuin alkeisvaraus),

$\ A_\mu$ on sähkömagneettisen kentän kovariantti nelipotentiaali ja

$F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\!$ on sähkömagneettisen kentän tensori.

[muokkaa] Eulerin-Lagrangen yhtälöt

Laita D Lagrangen tiheyteen nähdäksesi, että L on

$\mathcal{L} = i \bar{\psi} \gamma^\mu \partial_\mu \psi - e\bar{\psi}\gamma_\mu A^\mu \psi -m \bar{\psi} \psi - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}. \quad \quad (1) \,$

Tämä Lagrangen tiheys voidaan laittaa Eulerin-Lagrangen yhtälöön

$\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu \psi )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi} = 0 . \quad \quad \quad \quad \quad (2) \,$

jotta löydetään QED:n kenttäyhtälöt.

Tämän Lagrangen tiheyden kaksi termiä ovat siis

$\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu \psi )} \right) = \partial_\mu \left( i \bar{\psi} \gamma^\mu \right) \,$

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi} = -e\bar{\psi}\gamma_\mu A^\mu - m \bar{\psi} \,$

Laittamalla nämä kaksi takaisin Eulerin-Lagrangen yhtälöön (2), jolloin saadaan

$i \partial_\mu \bar{\psi} \gamma^\mu + e\bar{\psi}\gamma_\mu A^\mu + m \bar{\psi} = 0 \,$

ja kompleksikonjugaatti

$i \gamma^\mu \partial_\mu \psi - e \gamma_\mu A^\mu \psi - m \psi = 0. \,$

Jos keskimmäinen termi laitetaan oikealle puolelle, saadaan:

$i \gamma^\mu \partial_\mu \psi - m \psi = e \gamma_\mu A^\mu \psi \,$

Vasemmanpuoleinen on kuten alkuperäinen Diracin yhtälö ja oikeanpuoleinen on vuorovaikutus sähkömagneettisen kentän kanssa.

Yksi tärkeä yhtälö saadaan laittamalla Lagrangen tiheys Eulerin-Lagrangen yhtälöön, tällä kertaa kentälle $A μ$ :

$\partial_\nu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\nu A_\mu )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_\mu} = 0 . \quad \quad \quad (3) \,$

Tällä kertaa kaksi termiä ovat

$\partial_\nu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\nu A_\mu )} \right) = \partial_\nu \left( \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu \right) \,$