Kohomologia
Wikipedia
Matematiikassa, erityisesti algebrallisessa topologiassa, kohomologia on nimitys Abelin ryhmien jonoille, joilla on ketjukompleksi. Siten kohomologia on näiden ketjujen abstraktia tutkimista. Kohomologia voidaan nähdä menetelmänä määrittää topologisten avaruuksien algebrallisia invariantteja, joilla on hienompi algebrallinen struktuuri kuin mitä homologia antaa. Kohomologia esiintyy homologian konstruoinnin algebrallisena duaalina.
[muokkaa] de Rhamin kohomologia
Eräs kohomologian tärkeä sovellutus koskee kenttä- ja potentiaaliteoriaa. Sileät eri ulotteiset differentiaalimuodot muodostavat ketjukompleksin, jossa muotoavaruuksien välillä kuvaukset ovat ulkoderivaattoja. Vastaava homologiateoria koskee (sopivasti määriteltyjä) eri ulotteisia integrointialueita, joiden välillä puolestaan ovat nk. reunahomomorfismit. Eräs tärkeimpiä tuloksia on Georges de Rhamin muotoilema de Rhamin lause, jonka mukaan reaalikertoimiset de Rhamin kohomologiaryhmät ovat isomorfisia reaalikertoimisten singulaaristen homologiaryhmien kanssa. Kohomologiaryhmät liittyvät suljettuihin muotoihin, jotka eivät ole eksakteja (siis joita ei voi aivan esittää potentiaalin avulla), ja de Rhamin lause liittää tämä potentiaalien olemassaolon kannalta ratkaisevan kysymyksen muotojen määrittelyalueen (sileä monisto) topologisiin ominaisuuksiin.
