Homologie et cohomologie
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Sommaire |
[modifier] Généralités
Un complexe de chaines est la donnée d'une suite de groupes abéliens Mi et d'une famille d'homomorphismes, appelées opérateurs de bord , telle que : . Les éléments de Mi s'appellent des chaines de degré i. Les éléments du noyau s'appellent des cycles. Les éléments de l'image s'appellent des bords. Tout bord est un cycle.
Les groupes d'homologie sont : .
À tout espace topologique, on peut associer son complexe de chaines singulières et donc son homologie singulière. Du point de vue de la théorie des catégories, l'homologie peut être vue comme un foncteur de la catégorie des espaces topologiques vers la catégorie des groupes abéliens gradués.
On peut remplacer les groupes abéliens par des modules sur un anneau commutatif.
[modifier] Catalogue
Chaque théorie homologique mérite à elle seule un article. La liste suivante n'est pas exhaustive.
- Homologie singulière - Homologie associée à tout espace topologique.
- Homologie cellulaire - Homologie associée à tout CW-complexe
- Cohomologie de De Rham - Cohomologie associée à toute variété différentielle.
- Cohomologie galoisienne
- Cohomologie d'Alexander-Spanier
- Homologie simpliciale
- Homologie étale
- Homologie de Morse
- Homologie de Floer
- Homologie et Cohomologie de Cech
- Homologie de Hochschild Homologie associée à toute algèbre associative
- Homologie cyclique Homologie associée à toute algèbre associative
- Homologie des algèbres de Lie Homologie associée à toute algèbre de Lie
[modifier] Bibliographie
[modifier] Liens externes
- (fr) (historique) Emergence de la notion de groupe d'homologie par Nicolas Basbois
[modifier] Ouvrages de mathématiques
- William Fulton ; Algebraic Topology: A First Course, Graduate Texts in Mathematics 153, Springer-Verlag (1995), ISBN 0-387-94327-7.