Imaginaariyksikkö
Wikipedia
Matematiikassa imaginaariyksikkö mahdollistaa reaalilukujen laajentamisen kompleksilukujen joukkoon. Sen täsmällinen määritelmä riippuu tavasta, jolla laajennus tehdään. Imaginaariyksikköä merkitään useimmiten kirjaimella i, mutta myös merkinnät j ja ι ovat toisinaan käytössä.
Perussyy tähän laajennukseen on, että kaikilla polynomiyhtälöillä ei ole ratkaisua reaalilukujen joukossa. Erityisesti yhtälö x2 + 1 = 0 on tällainen. Ajattelemalla, että kyseisellä yhtälöllä olisikin ratkaisuna imaginaariyksikkö i ja määrittelemällä i:n laskutoimitukset sopivasti, saadaankin jokaiselle reaalikertoimiselle polynomiyhtälölle f(x)=0 ratkaisu. (Katso algebrallinen sulkeuma ja algebran peruslause).
Imaginaariyksikköä voidaan ajatella myös "neliöjuuri −1:nä", mutta tällöin on oltava huolellinen neliöjuurten laskusääntöjen kanssa.
[muokkaa] Määritelmä
Määritelmän mukaan i on eräs toisen asteen yhtälön
ratkaisuista. Yhtäpitävästi se on sellainen luku, että i2=−1. Koska ei ole olemassa reaalilukua, jonka neliö on negatiivinen, on kuviteltava, että tällainen luku on olemassa ja merkittävä sitä i:llä.
Reaalilukujen laskusäännöt voidaan laajentaa imaginaarisille ja kompleksisille luvuille ajattelemalla lukua i muuttujana, kertomalla lukuja kuten polynomeja ja ottamalla huomioon, että i2=−1. Korkeammista eksponenteista imaginaariyksikön eksponentti voidaan palauttaa välille 0,...,3 kaavan in=-in-2 avulla.
