Aliryhmä

Wikipedia

Ryhmän $(G, * )$ alkioiden ei-tyhjä osajoukko $H$ muodostaa aliryhmän, mikäli

$a*b \in H$ kaikilla $a, b \in H$ ja
$a^{-1} \in H$ kaikilla $a \in H.$

Aliryhmärelaatiota merkitään tavallisesti $H \leq G.$

Aliryhmän käsite voidaan määritellä myös yhtäpitävästi seuraavalla tavalla. Olkoon $H$ ryhmän $(G, * )$ alkioiden osajoukko. Tällöin joukko $H$ on ryhmän $(G, * )$ aliryhmä, mikäli

joukon $H$ binäärinen operaatio $\star$ , joka saadaan asettamalla $a \star b = a*b$ kaikilla $a,b \in H$ on hyvin määritelty (tämä on yhtäpitävä ehto aikaisemman määritelmän ensimmäisen ehdon kanssa) ja
pari $(H,\star)$ on ryhmä.

Toisin sanoen aliryhmä on itsessään ryhmä alkuperäisen ryhmäoperaation rajoittuman suhteen. Ryhmäteoriaa käsittelevässä kirjallisuudessa käytetään molempia määritelmiä.

Joukot $\left\{ 1 \right\}$ ja $G$ ovat aina ryhmän $G$ aliryhmiä. Aliryhmää $\left\{ 1 \right\}$ kutsutaan triviaaliksi aliryhmäksi. Mikäli $H \leq G$ ja $H \not = G$ , niin aliryhmää $H$ sanotan aidoksi ja merkitään $H<G. \$

[muokkaa] Ominaisuuksia

Olkoon seuraavassa $H \leq G,$ $h \in H$ ja $g \in G.$

Ryhmän $G \$ neutraalialkio on myös aliryhmän $H \$ neutraalialkio.
Alkion $h \in H$ käänteisalkio ryhmässä $G \$ on myös sen käänteisalkio aliryhmässä $H. \$
Tulo $hg \in H$ jos ja vain jos $g \in H.$ Vastaavasti $gh \in H$ jos ja vain jos $g \in H.$
Kahden aliryhmä joukko-opillinen unioni on aliryhmä jos ja vain jos toinen aliryhmistä sisältyy toiseen. Siis jos $K \leq G$ , niin

$H \cup K \leq G$ jos ja vain jos $H \leq K$ tai $K \leq H. \$

Aliryhmien joukko-opillinen leikkaus on aliryhmä. Eli jos $I$ on mielivaltainen indeksijoukko, jolla $H_i \leq G$ kaikilla $i \in I$ , niin tällöin leikkaus

$\bigcap_{i \in I} H_i \leq G.$

Jos $X \subset G$ , niin edellisen kohdan nojalla on olemassa sellainen yksikäsitteinen suppein ryhmän $G \$ aliryhmä, joka sisältää joukon $X \$ . Tämä aliryhmä on