Sivuluokka

Wikipedia

Jos $H$ on ryhmän $G$ aliryhmä ja $a \in G \$ , niin ryhmän $G$ osajoukkoa

$aH = \left\{ ah | h \in H \right\}$

kutsutaan alkion a määräämäksi aliryhmän $H$ vasemmaksi sivuluokaksi. Vastaavasti osajoukkoa

$Ha = \left\{ ha | h \in H \right\}$

kutsutaan alkion a määräämäksi aliryhmän $H$ oikeaksi sivuluokaksi. Vasempia ja oikeita sivuluokkia kutsutaan yhteisellä nimellä sivuluokka, mikä puolella ei ole merkitysyä. Yleisessä tapauksessa tosin $aH \not = Ha \$ . Aliryhmää $H$ , jolla pätee $aH = Ha \$ kaikilla $a \in G \$ sanotaan ryhmän $G$ normaaliksi aliryhmäksi. Esimerkiksi kaikkien Abelin ryhmien aliryhmät ovat normaaleja.

Sivuluokilla on merkittävä osa ryhmäteoreettisissä tarkasteluissa. Sivuluokkien avulla voidaan esimerkiksi helposti todistaa Lagrangen lause ja ne esiintyvät myös ryhmän tekijäryhmien alkioina.

[muokkaa] Ominaisuuksia

Olkoon $H$ on ryhmän $G$ aliryhmä ja $a,b \in G \$ . Tällöin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä

alkio b kuuluu alkion a määräämään aliryhmän $H$ vasempaan sivuluokkaan,
$aH = bH \$ eli alkioiden a ja b määräämät aliryhmän $H$ vasemmat sivuluokat ovat samat,
$Ha^{-1} = Hb^{-1} \$ eli alkioiden a ja b käänteisalkioiden määräämät aliryhmän $H$ oikeat sivuluokat ovat samat ja
$a^{-1}b \in H. \$

Erityisesti viimeinen ehto osoittautuu erityisen hyödylliseksi, sillä relaatio $a \sim b \ : a^{-1}b \in H \$ kaikilla $a,b \in G \$ on joukon $G$ ekvivalenssirelaatio. Tämän relaation ekvivalenssiluokat ovat aliryhmän $H$ vasemmat sivuluokat. Täten vasemmat sivuluokat ovat keskenään pistevieraita ja

$G = \bigcup_{a \in G} aH \$

eli ryhmä $G$ voidaan esittää vasempien sivuluokkien unionina. Aliryhmäkriteerin nojalla aliryhmä $H$ on eräs omista sivuluokistaan.

Koska funktio

$f: H \rightarrow aH, f(h) = ah \$

on bijektio kaikilla $a \in G \$ , niin aliryhmällä $H$ on sama mahtavuus kaikkien vasempien sivuluokkiensa kanssa. Erityisesti, mikäli $H$ on äärellinen ryhmä, niin aliryhmän $H$ kaikissa sivuluokissa on yhtä monta alkiota.

Kaikki edellä esitellyt ominaisuudet pätevät sopivin muutoksin myös oikeille sivuluokille. Lisäksi koska kuvaus

$g: \left\{ aH | a \in G \right\} \rightarrow \left\{ Ha | a \in G \right\}, f(aH) = Ha^{-1} \$

on hyvin määritelty ja bijektio, niin aliryhmän $H$ vasempien sivuluokkien joukko on yhtä mahtava oikeiden sivuluokkien joukon kanssa. Erityisesti, mikäli vasempia sivuluokkia on äärellinen määrä, niin aliryhmän $H$ vasempien sivuluokkien lukumäärä on sama kuin aliryhmän $H$ oikeiden sivuluokkien lukumäärä. Tätä lukua kutsutaan aliryhmän $H$ indeksiksi ryhmässä $G$ .

Hallin todistaman lauseen mukaan, mikäli $H \leq G \$ ja aliryhmän indeksi ryhmässä $G$ on n, niin voidaan valita sellaiset alkiot $t_1, t_2, \ldots, t_n \in G \$ , että lista $t_1H, t_2H, \ldots, t_nH$ sisältää kaikki vasemmat sivuluokat ja lista $Ht_1, Ht_2, \ldots, Ht_n$ sisältää kaikki oikeat sivuluokat.

[muokkaa] Muuta huomioin arvoista

Ryhmän multiplikatiivisessa esityksessä sivuluokkia merkitään yleensä $a H$ ja $H a$ , additiivisessa $a + H$ ja $H + a$ . Tässä merkinnässä $H$ :n paikalle ajattellaan sijoitetuksi jokainen $H$ :n alkio erikseen, jolloin saadaan täsmälleen sivuluokan alkiot.