Transformada de Fourier discreta

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En matemáticas, la transformada de Fourier discreta, designada con frecuencia por la abreviatura DFT (del inglés discrete Fourier transform), y a la que en ocasiones se denomina transformada de Fourier finita, es una transformada de Fourier ampliamente empleada en tratamiento de señales y en campos afines para analizar las frecuencias presentes en una señal muestreada, resolver ecuaciones diferenciales parciales y realizar otras operaciones, como convoluciones. La transformada de Fourier discreta puede calcularse de modo muy eficiente mediante el algoritmo FFT.

La secuencia de n números complejos x₀, ..., x_n-1 se transforma en la secuencia de n números complejos f₀, ..., f_n-1 mediante dicha transformada según la fórmula

$f_j = \sum_{k=0}^{n-1} x_k e^{-\frac{2 \pi i}{n} j k} \quad \quad j = 0, \dots, n-1$

siendo e la base de los logaritmos naturales, i la unidad imaginaria ( $i 2 = - 1$ ), y π el número pi. Esta transformada se nota con frecuencia mediante el símbolo $\mathcal{F}$ , como en $\mathbf{f} = \mathcal{F}(\mathbf{x})$ o en $\mathcal{F} \mathbf{x}$ .

La transformada de Fourier discreta inversa (por sus siglas en inglés IDFT, Inverse Discrete Fourier Transform) se calcula, por otra parte, mediante:

$x_k = \frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1} f_j e^{\frac{2\pi i}{n} j k} \quad \quad k = 0,\dots,n-1$ .

Nótese que el factor de normalización que multiplica a la transformada y a su inversa (en las fórmulas dadas, 1 y 1/n) y los signos de los exponentes son convencionales, y pueden diferir en otras presentaciones de la transformada de Fourier discreta. Lo importante es que la DFT y la IDFT tengan exponentes de signos contrarios y que el producto de sus factores de normalización sea 1/n. Un factor de normalización de $1/\sqrt{n}$ tanto para la transformada directa como para la inversa hace las transformaciones unitarias, lo que presenta ciertas ventajas teóricas, pero en la práctica suele ser más conveniente realizar la operación de escalado una única vez.