Serie armónica (matemática)

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Para el concepto musical relacionado con éste véase serie armónica (música).

En matemáticas, se define la serie armónica como la siguiente serie infinita:

$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} \cdots$

Se llama así porque la longitud de onda de los sobretonos de una cuerda que vibra es proporcional a 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7...

Tabla de contenidos

1 Propiedades
- 1.1 Divergencia de la serie armónica
- 1.2 Convergencia de la serie armónica alternada
2 Serie armónica parcial
- 2.1 Representación
- 2.2 Conexión con la hipótesis de Riemann
3 Serie armónica generalizada
4 p-series
5 Temas relacionados
6 Notas
7 Referencias
8 Enlaces externos

[editar] Propiedades

[editar] Divergencia de la serie armónica

La serie ármonica es divergente, aunque sea lentamente (los primeros 10⁴³ términos de la serie suman menos de 100). Ésto se puede demostrar haciendo ver que la serie armónica es mayor, término por término, que esta otra serie:

$\sum_{k=1}^\infty 2^{-\lceil \log_2 k \rceil} \! = 1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right] + \frac{1}{16}\cdots$

$= \quad\ 1 +\ \frac{1}{2}\ +\ \quad\frac{1}{2} \ \quad+ \ \qquad\quad\frac{1}{2}\qquad\ \quad \ + \ \quad\ \cdots$

que está claro que diverge. ( Ésto es bastante riguroso ya que los mismos términos se agrupan de la misma manera ). Esta prueba, dada por Nicolás Oresme, fue un gran paso para las matemáticas medievales. De hecho, es la prueba que se suele enseñar a los estudiantes, ya que es bastante elemental.

Otras series, como la suma de los inversos de los números primos diverge, aunque esto ya es más difícil de demostrar (véase la demostración aquí).

[editar] Convergencia de la serie armónica alternada

La serie armónica alternada, sin embargo, converge:

$\sum_{k = 1}^\infty \frac{(-1)^{k + 1}}{k} = \log 2$

Ésta es una consecuencia de la serie de Taylor del logaritmo natural.

[editar] Serie armónica parcial

[editar] Representación

Si definimos el n-ésimo número armónico como:

$H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}$

entonces H_n crece aproximadamente tan rápido como el logaritmo natural de n. Esto es así porque la suma se aproxima a la integral

$\int_1^n {1 \over x}\, dx$

cuyo valor es log(n).

Con más precisión, tenemos el límite:

$\lim_{n \to \infty} H_n - \log(n) = \gamma$

donde γ es la constante de Euler-Mascheroni.

Se puede demostrar que:

El único H_n que es entero es H₁.
La diferencia H_m - H_n donde m>n nunca es entera.

Entre las representaciones para H_n, en las que n puede ser un número fraccionario o negativo(no entero) están:

$H_n = \int_0^1 \frac{1-x^n}{1-x} \, dx$

dada^[1] por Leonhard Euler.

Y también

$H_n = \Psi (n+1) + \gamma \,\!$

donde Ψ(n+1) es la función digamma y γ es la constante de Euler-Mascheroni.

[editar] Conexión con la hipótesis de Riemann

Jeffrey Lagarias demostró en 2001 que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación:

$\sigma(n)\le H_n + \log(H_n)e^{H_n} \qquad \mbox{ para todo }n\in\mathbb{N}$

donde σ(n) es la suma de los divisores positivos de n.^[2]

[editar] Serie armónica generalizada

Las series armónicas generalizadas se definen de la siguiente forma:

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{an+b}$

Como principal propiedad tenemos que todas estas series son divergentes.

[editar] p-series

La p-serie, es (cualquiera de) las series

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$

para p número real positivo. La serie es convergente si p > 1 y divergente en otro caso. Cuando p = 1, la serie es la serie armónica. Si p > 1, entonces la suma de la serie es ζ(p), es decir, la función zeta de Riemann evaluada en p.

Esto se puede utilizar para comprobar la convergencia de series.

[editar] Temas relacionados

[editar] Notas

↑ Leonhard Euler, De summatione innumerabilium progressionum
↑ (Véase, en inglés, An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis, American Mathematical Monthly, volumen 109 (2002), páginas 534--543.)

[editar] Referencias

Leonhard Euler, De summatione innumerabilium progressionum, Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 5, 1738, pp. 91-105 Reprinted In Opera Omnia: Series 1, Volume 14, pp. 25 - 41
Many proofs of divergence of harmonic series : "The Harmonic Series Diverges Again and Again", The AMATYC Review, 27 (2006), pp. 31-43. (en inglés)
An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis, American Mathematical Monthly, volume 109 (2002), pages 534--543.

[editar] Enlaces externos

Leonhard Euler, De summatione innumerabilium progressionum E020 (en latín) [1]
Harmonic Series at mathworld.wolfram.com (en inglés) [2]
Jeffrey Lagarias, An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis (en inglés) [3]
Prueba corta de la divergencia de la serie armónica[4][5]

Categorías: Teoría de números | Series matemáticas

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