Harmonisk række

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

Musik, harmonisk række

I matematikken er den harmoniske række den uendelige række

$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots.$

Indholdsfortegnelse

1 Rækken og dens egenskaber
2 Andre relevante definitioner
3 Harmonsike middeltal
4 Se også

[redigér] Rækken og dens egenskaber

Rækken kaldes den harmoniske række, fordi bølgelængderne af overtonerne af en vibrerende streng er proportionelle til 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... . Rækken divergerer (langsomt) mod uendelig. Dette kan vises ved at bemærke, at den harmoniske række er ledvist større end eller lig rækken

$\sum_{k=1}^\infty 2^{-\lceil \log_2 k \rceil} \! = 1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right] + \frac{1}{16}\cdots$

$\ \ \ \ \ = 1 +\ \frac{1}{2}\ \ +\ \quad\frac{1}{2} \ \quad+ \ \qquad\quad\frac{1}{2}\qquad\ \quad \ + \ \quad\ \cdots$

som tydeligvis divergerer. (Dette bevis, der skyldes Nicole Oresme, er et højdepunkt i middelalderens matematik.) Faktisk gælder også, at summen af de reciprokke primtal

$\sum_{p} \frac{1}{p} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \cdots,$

også divergerer mod uendelig (men dette er væsentligt sværere at bevise.) Den alternerende harmoniske række konvergerer derimod:

$\sum_{k = 1}^\infty \frac{(-1)^{k + 1}}{k} = \ln 2.$

Dette er et resultat af Taylorrækken af den naturlige logaritme.

Hvis det n'te harmoniske tal defineres som

$H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k},$

gælder, at H_n vokser omtrent så hurtigt som den naturlige logaritme på n. Grunden hertil er, at summen approksimeres af integralet

$\int_1^n {1 \over x}\, dx,$

hvis værdi er ln(n). Mere præcis haves grænseværdien:

$\lim_{n \to \infty} H_n - \ln(n) = \gamma,$

hvor γ er Euler-Mascheroni-konstanten. Det er blevet vist, at

Det eneste heltallige H_n er H₁.
Differensen H_m − H_n hvor m > n aldrig er et heltal.

Jeffrey Lagarias beviste i 2001, at Riemannhypotesen er ækvivalent med udsagnet

$\sigma(n)\le H_n + \ln(H_n)e^{H_n} \qquad \forall n\in\mathbb{N},$

hvor σ(n) er summen af de positive divisorer af n.

[redigér] Andre relevante definitioner

Den generelle harmoniske række er på formen

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{an+b}.$

Der gælder, at alle harmoniske rækker divergerer.

Rækkerne

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$

for p a positive real number kaldes p-rækkerne. Rækkerne konverger for p > 1 og divergerer ellers. For p = 1 er rækken den harmoniske række. Hvis p > 1 er summen af rækken ζ(p); det vil sige Riemanns zetafunktion på p.

[redigér] Harmonsike middeltal

Et hvert led i den harmoniske række, er det harmoniske middeltal af sine to naboled

$a = \frac{1}{n-1}\ \ ,\ \ b = \frac{1}{n}\ \ ,\ \ c = \frac{1}{n+1}$

Vi kan sige at b er det harmoniske middeltal mellem a og c. Det underbygges ved

$2ac \ = \ 2 \cdot \frac{1}{n-1} \cdot \frac{1}{n+1} \ = \ \frac{2}{(n-1)(n+1)} \ = \ \frac{2}{n^2-1}$

$a + c \ = \ \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n+1} \ = \ \frac{n+1+n-1}{(n-1)(n+1)} \ = \ \frac{2n}{n^2-1}$

Med de to mellemregninger ovenover fås nu

$\frac{2ac}{a+c} \ = \ \frac{\frac{2}{n^2-1}}{\frac{2n}{n^2-1}} \ = \ \frac{2}{n^2-1} \cdot \frac{n^2-1}{2n} \ = \ \frac{2}{2n} \ = \ \frac{1}{n} \ = \ b$