Operador lineal acotado

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Un operador lineal acotado u operador acotado es una aplicación lineal definida sobre un espacio vectorial normado tal que existe la norma de sus valores puede acotarse. Más precisamente, la aplicación lineal $B:X\longrightarrow Y\;$ es un operador actotado si y solo sí:

$\exists K\in\mathbb{R}: \max_{\|v\| = 1} \|B(v)\| \le K$

[editar] Propiedades de los operadores acotados

En un espacio vectorial normado de dimensión finita todo operador lineal es acotado. Por lo que el concepto de operdor acotado sólo resulta interesante y no-trivial en espacios de dimensión no-finita como los que aparecen en el análisis funcional o la mecánica cuántica.
Un operador acotado (en un espacio de Banach) es una función continua entre espacios vectoriales. Trivialmente todas las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales de dimensión finita son continuas, sin embargo, esto último no es cierto para espacios de dimensión infinita.
El espectro de un operador acotado es un conjunto acotado.

[editar] Jerarquía de operadores acotados

Existen diversos subtipos de operadores acotados, según se impongan criterios más restrictivos sobre sus propiedades. En particular en espacios de dimensión infinita puede establecerse la siguiente secuencia de inclusiones propias:^[1]

$\mbox{acotado} \supset \mbox{compacto} \supset \mbox{Hilbert-Schmidt} \supset \mbox{Operador con traza} \supset \mbox{degenerado}$

En dimensión finita si un operador es acotado pertenece a la clase de operadores acotados entonces también pertenece a cualquiera de las otras clases de arriba, por lo que la cadena anterior es trivial.

En lo que sigue consideraremos sólo espacios de Banach o de Hilbert.

[editar] Operadores compactos

Un operador A se llama compacto o absolutamente continuo si para toda sucesión acotada la imagen de dicha secuencia contiene una subsucesión convergente. Es decir:

$\left(\forall \{\varphi_j\}_{j=1}^\infty: \max_{j}\|\varphi_j\| \le C\right) \Rightarrow \left(\exists \{\varphi_{j_k}\}_{k=1}^\infty: A\varphi_{j_k}\ \mbox{converge}\right)$

Obsérvese que un operador compacto necesariamente es acotado. Si un operador no fuera acotado podríamos encontrar una secuencia acotada que diverge en norma $\|A\varphi_j\| \to \infty$ y por tanto sería imposible encontrar una subsecuencia convergente, y por tanto tampoco podría ser compacto.

[editar] Operadores Hilbert-Schmidt

[editar] Operadores con traza

[editar] Operadores degenerados

[editar] Referencias

↑ Ritchmyer, p 241.

Robert D. Richmyer, Principles of advanced mathematical physics, Springer-Verlag, New York, 1978.

Categorías: Álgebra lineal | Análisis funcional

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