Fuerza centrípeta

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Se llama así a la fuerza que tira de un objeto hacia el centro de un camino circular mientras que el objeto sigue dicha trayectoria a un rapidez constante (siendo la rapidez la magnitud de la velocidad).

El término centripeta proviene de las palabras latinas centrum (centro) and petere (dirigirse hacia...), y puede ser derivada a partir de las leyes descubiertas por Isaac Newton.

La fuerza centrípeta siempre actúa en forma perpendicular a la dirección de movimiento del cuerpo sobre el cual se aplica. En el caso de un objeto que se mueve en trayectoria circular con rapidez cambiante, la fuerza neta sobre el cuerpo puede ser descompuesta en un componente perpendicular que cambia la dirección del movimiento y uno tangencial, paralelo a la velocidad.

La fuerza centrípeta no debe ser confundida con la fuerza centrífuga, tal como se explica en la sección Malentendidos Comunes

[editar] Fórmula Básica

Los objetos con movimiento rectilíneo uniforme tienen una rapidez constante, pero un objeto que se mueva en un arco con rapidez constante sufre un contínuo cambio en la dirección del movimiento. Dado que la velocidad es un vector con módulo, dirección y sentido, un cambio en la dirección, implica una velocidad variante y por tanto existe aceleración. La magnitud de este cambio de velocidad es conocida como la aceleración centrípeta. Diferenciando el vector de velocidad obtenemos la dirección de esta aceleración hacia el centro del círculo, lo cual por ello es representado con el signo negativo.

$\mathbf{a} = - \frac{v^2}{r} \frac{\mathbf{r}}{r} = - \omega^2 \mathbf{r}$

Donde:
$\mathbf{a} \,$ = vector de aceleración centrípeta.
$v \,$ = módulo de la velocidad (rapidez) tangencial.
$r \,$ = radio de la curvatura.
$\mathbf{r} \,$ = vector unitario radial.
$\omega \,$ = velocidad angular.

Según la segunda ley de Newton, si hay una aceleración ha de existir una fuerza en la dirección de esta aceleración, y con modulo en funcion de la fórmula centripeta, que es igual a:

$\mathbf{F} = - \frac{m v^2}{r} \frac{\mathbf{r}}{r} = - m \omega^2 \mathbf{r}$

Donde $m$ es la masa del objeto en rotación y los demás parámetros son los de la anterior ecuación.

[editar] Ejemplo

Supongamos que atamos una pelota alrededor de una cuerda y la hacemos girar en círculo a velocidad angular constante. La pelota se mueve en una trayectoria circular porque la cuerda ejerce sobre ella una fuerza centrípeta.

Otro ejemplo se puede ver en Modelo de Tiovivo, donde un programa realizado en Lenguaje Java permite parametrizar alguna de las variables que intervienen utilizando un carrusel.

[editar] Malentendidos Comunes

Tiende a existir confusiones entre la fuerza centrípeta y la centrífuga. La fuerza centrífuga es una fuerza ficticia que surge cuando se usa un marco de referencia rotatorio. Para eliminarla, el marco de referencia debe ser inercial (es decir sin aceleración). Sólo entonces se pueden utilizar con seguridad las leyes del movimiento de Newton.

Tampoco la fuerza centrípeta debe confundirse con la denominada fuerza central. La fuerza central es una clase de fuerza física entre dos objetos que cumple con dos condiciones: (1) su magnitud depende sólo de la distancia entre los dos objetos y (2) su dirección apunta a lo largo de la línea que une los centros de estos dos objetos. Ejemplos de fuerzas centrales son la fuerza gravitatoria entre dos masas y la fuerza electrostática entre dos objetos cargados. La fuerza centrípeta que mantiene un objeto en movimiento circular es a menudo una fuerza central.

[editar] Demostración Geométrica

Figura 1: Los vectores de posición y velocidad se mueven de forma circular.

La fórmula descrita de la Aceleración Centrípeta es posible demostrarla con argumentos geométricos recurriendo a la figura anexa. El círculo a la izquierda de la figura muestra un objeto que se desplaza en una trayectoria circular con rapidez constante en cuatro diferentes instantes. El vector posición se denota con $\mathbf{R}$ y su velocidad tangencial es $\mathbf{v}$ .

El vector $\mathbf{v}$ siempre es perpendicular al vector de posición, ya que el primero siempre es tangente a la trayectoria; por tanto, ya que el vector $\mathbf{R}$ se mueve circularmente, así también lo hace $\mathbf{v}$ . El movimiento circular de la velocidad se muestra en el círculo a la derecha de la figura, junto con su aceleración $\mathbf{a}$ , asociada al cambio de orientación del vector velocidad.

Ya que los vectores de posición y velocidad se mueven en forma conjunta aunque perpendicular, éstos describen círculos en el mismo período o tiempo llamado T. El tiempo se calcula de esta manera:

$T = \frac{2\pi R}{v}$

Ya que el perímetro de la trayectoria circular es ${2\pi R} \,$ . Por analogía con la trayectoria de la derecha de la figura,

$T = \frac{2\pi v}{a}$

Igualando ambas ecuaciones, y despejando $a$ obtenemos.

$a = \frac{v^{2}}{R}$

Comparando los dos círculos de la Figura 1 también se muestra que la aceleración apunta hacia el centro de la circunferencia, en forma opuesta al vector $\mathbf{R}\,$ .

[editar] Derivación usando Cálculo

Otra estrategia para deducir la ecuación de la aceleración centrípeta es usar un Sistema de coordenadas polares, suponiendo que el radio de la trayectoria es constante y aplicar la derivación dos veces.

Sea $\mathbf{R(t)}$ un vector que describe la posición de una masa puntual, como función del tiempo. Puesto que se asume que existe movimiento circular uniforme, sea $\mathbf{R(t)} = r\mathbf{u_r}$ , donde $r \!$ es una constante (el radio del círculo) y $\mathbf{u_r}$ es el vector unitario que apunta desde el origen hasta la masa puntual. La dirección de este vector es descrita por $\theta \,$ , que es el ángulo entre el eje x y el vector unitario, medido en sentido contrario a las manecillas del reloj desde dicho eje. En términos de coordenadas cartesianas, en las direcciones de los ejes $x \!$ e $y \!$ ( $\mathbf{i}$ y $\mathbf{j}$ , respectivamente) el vector unitario se expresa así:

$\mathbf{u_r} = \cos \theta \mathbf{i} + \sin \theta \mathbf{j} \,$

Nota: a diferencia de los vectores unitarios cartesianos, los cuales son constantes, en Coordenadas polares la dirección de los vectores unitarios depende del ángulo $\theta \,$ , y en general tienen derivadas respecto al tiempo no nulas.

Derivando a $\mathbf{R(t)}$ para hallar la velocidad, se obtiene:

$\mathbf{v} = \frac {d\mathbf{R(t)}}{dt} = r \frac {d\mathbf{u_r}}{dt} \,$ .

$\mathbf{v} = r \frac {d\mathbf ({\cos \theta \mathbf{i} + \sin \theta \mathbf{j}})}{dt} \,$ .

$\mathbf{v} = r (-{\sin \theta \mathbf{i}} + \cos \theta \mathbf{j})\frac{d\theta}{dt}\,$

Pero la expresión entre paréntesis, como se puede demostrar, corresponde a un vector perpendicular a $\mathbf{u_r}$ que denominamos $\mathbf{u_\theta}$ y que apunta en dirección de valores crecientes de $\theta \,$ .

Por tanto:

$\mathbf{v} = r \frac{d\theta}{dt} \mathbf{u_\theta} \,$

$\mathbf{v} = r \omega \mathbf{u_\theta} \,$

Donde:

$\omega \,$ : velocidad angular (expresable también como $\frac{d\theta}{dt}$ )

Este resultado es consistente con nuestra expectativa de que la velocidad debe dirigirse alrededor del círculo y que la magnitud de la misma debe ser $r\omega \!$ .

Derivando nuevamente $\mathbf{v}$ , y observando que:

${\frac {d\mathbf{u_\theta}}{dt}} = -\frac{d\theta}{dt} \mathbf{u_r} \,$

Se encuentra que la aceleración, $\mathbf{a} \,$ es:

$\mathbf{a} = r \left( \frac {d\omega}{dt} \mathbf{u_\theta} - \omega^2 \mathbf{u_r} \right) \,$

Así, el componente radial de la aceleración es:

$\mathbf{a}_{\mathrm{r}} = - \omega^{2} r \,$

Desde luego, si la velocidad angular $\omega \!$ es constante, el componente tangencial $\mathbf{a_\theta}$ se hace nulo, a diferencia del componente radial.