向心力

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在经典力学中，向心力是物体沿着圆周或者曲线轨道运动时的指向圆心的合外力作用力。向心力其实并非一种力，而是合外力作用的一种需求。“向心力”一词是从这种合外力作用所产生的效果而命名的。这种效果可以由弹力、重力、摩擦力中的任何一力而产生。也可以由几个力的合力或几个力的分力提供。

因为匀速圆周运动属于曲线运动，在做匀速圆周运动中的物体也同时会受到与其速度方向不同的合外力作用。对在做均速圆周运动的物体所产生的是一种拉力，随着物体在圆周轨道上的运动而不停的变动方向。这种拉力总是沿着圆周半径指向圆周的中心，之所以得名“向心力”。因为向心力总是指向圆周中心，然而被向心力所控制的物体是沿着切线的方向运动，所以向心力总是与受控物体的运动方向呈90°的垂直。向心力对其所控物体的控制是运动方向的控制，然而向心力并没有对物体施加力，也没有对物体的速度大小做任何的改变。这就是说向心力并非一种力。

当物体在做非匀速圆周运动时，也就是说具有加速度时，无论运动轨迹半径是否发生变化，在向心方向上都会有向心加速度。这时物体的运动方向就不再是运动曲线的切线方向，而受到向心加速度的影响。

向心力的大小与物体的质量（m）、物体运动圆周半径的长度（r）和角速度（ω）有着关系。

[编辑] 公式(代數證法)

1. 一物体要做匀速圆周运动所需要的向心力大小为:

$\mathbf{F} = m \mathbf{r} \omega^2$

2. 欲知向心力与线速度大小的关系,可以将 $\boldsymbol\omega = \frac{v} {r}$ 代入 $\mathbf{F} = m \mathbf{r} \omega^2$ ,也就是物体的线速度与其角速度的关系:

$\mathbf{F} = m \mathbf{r} \omega^2$

$\mathbf{F} = {\mathbf{m}} \frac{v^2} {r}$

定义：做匀速圆周运动的物体受到指向圆心的合外力作用，这个合外力叫做向心力。

方向：向心力的方向时刻指向圆心。做匀速圆周运动的物体具有向心加速度，根据牛顿第二定律，这个加速度一定是由于它受到了指向圆心的合外力。

公式：根据牛顿第二定律F合=ma，把向心加速度的公式代入可得：

$\mathbf{F}_c = -\frac{m v^2}{r} \hat{\mathbf{r}} = -\frac{m v^2}{r} \frac{\mathbf{r}}{r} = -m \omega^2 \mathbf{r} = m \boldsymbol\omega \times (\boldsymbol\omega \times \boldsymbol r )$

3. 因此由上方的公式表述，從牛頓定律的帶入可得知，

向心加速度為 $\mathbf{a} = \frac{v^2}{r} = \mathbf{r} \omega^2$

[编辑] 向心加速度之推導(畢氏三角證法)

設 $\mathbf{R}$ = $\boldsymbol{r + d}$ (半徑加上物體瞬間之掉落距離) 所以 $\mathbf{d}$ = $\boldsymbol{R-r}$ 由於 $\mathbf{d}$ = $\frac{1}{2}\boldsymbol{a \Delta t^2}$ ; 則 $\mathbf{a}$ = $\left( \frac{2d}{\Delta t^2} \right)$

從畢氏定理知道 $\boldsymbol{R^2 = r^2 + D^2}$ ，且 $\mathbf{d} = \sqrt{r^2+D^2} - r$

且定 $\mathbf{D}$ = $\mathbf{v \Delta t}$

而在瞬間的情況之下之向心加速度：

$\mathbf{a} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{2d}{\Delta t^2}$

把已知 $\boldsymbol{d}$ 代入, $\mathbf{a} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac {2(\sqrt{r^2+D^2r)}{\Delta t^2}$ }-

再把 $\boldsymbol{D = v\Delta t}$ 代入,

$\mathbf{a} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac {2(\sqrt{r^2+(v\Delta t)^2r)}{\Delta t^2}$ }-

分子、分母同乘 $(\sqrt{r^2+v^2 \Delta t^2}+r)$ 用以去根號， $\mathbf{a} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{2(r^2+(v^2)(\Delta t^2)-r^2)}{\Delta t^2(\sqrt{r^2+(v^2)(\Delta t^2)}+r)}$

此時 $\boldsymbol{r^2}$ 和 $\boldsymbol{r^2}$ 相抵銷， $\mathbf{a} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{2(v^2)(\Delta t^2)}{\Delta t^2(\sqrt{r^2+(v^2)(\Delta t^2)}+r)}$

此時 $\boldsymbol{t^2}$ 和 $\boldsymbol{t^2}$ 上下相抵銷為 $\boldsymbol{1}$ ， $\mathbf{a} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac {2(v^2)}{\sqrt{r^2+(v^2)(\Delta t^2)}+r}$