Rotación
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Rotación es el movimiento de cambio de orientación de un cuerpo extenso de forma que, dado un punto cualquiera del mismo, este permanece a una distancia constante de un punto fijo. En un espacio tridimensional, para un movimiento de rotación dado, existe una línea de puntos fijos denominada eje de rotación.
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[editar] Rotación en sólidos rígidos
En general se utiliza un cuerpo sólido ideal no puntual e indeformable denominado sólido rígido como ejemplo básico para estudiar los movimientos de rotación de los cuerpos. La velocidad de rotación está relacionada con el momento angular. Para producir una variación en el momento angular es necesario actuar sobre el sistema con fuerzas que ejerzan un momento de fuerza. La relación entre el momento de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo y la aceleración angular se conoce como momento de inercia (I) y representa la inercia o resistencia del cuerpo a alterar su movimiento de rotación.
Cinemática de la rotación de sólidos rígidos: Para analizar el comportamiento cinemático de un cuerpo rígido debemos partir de la idea de que un angulo θ define la posición instantánea de cualquier partícula contenida en el cuerpo rígido (CR); este angulo se mide desde un plano perpendicular al eje de rotación del CR.
Si la posición queda completamente definida por la coordenada angular θ, entonces la velocidad del CR se podrá expresar como:
Mientras que la aceleración quedaría definida por:
La energía cinética de rotación se escribe:
.
La expresión del teorema del trabajo en movimientos de rotación se puede expresar así: la variación de la energía cinética del sólido rígido es igual al producto escalar del momento de las fuerzas por el vector representativo del ángulo girado (Δφ).
.
[editar] Transformaciones de rotación
En matemáticas las rotaciones son transformaciones lineales que conservan las normas en espacios vectoriales en los que se ha definido una operación de producto interior. La matriz de transformación tiene la propiedad de ser una matriz unitaria, es decir, es ortogonal y su determinante es 1.
Sea un vector A en el plano cartesiano definido por sus componentes x e y, descrito vectorialmente a través de sus componentes:
La operación de rotación del punto señalado por este vector alrededor de un eje de giro puede siempre escribirse como la acción de un operador lineal (representado por una matriz) actuando sobre el vector (multiplicando al vector) .
En dos dimensiones la matriz de rotación para el vector dado puede escribirse de la manera siguiente:
.
Al hacer la aplicación del operador, es decir, al multiplicar la matriz por el vector, obtendremos un nuevo vector A' que ha sido rotado en un ángulo θ en sentido antihorario: RA = A', es decir
donde A'x = Axcosθ − Aysinθ y A'y = Axsinθ + Aycosθ son las componentes del nuevo vector después de ser rotado.
[editar] Teorema de rotación de Euler
En matemáticas, el teorema de rotación de Euler dice que cualquier rotación o conjunto de rotaciones sucesivas puede expresarse siempre como una rotación alrededor de una única dirección o eje de rotación principal. De este modo, toda rotación (o conjunto de rotaciones sucesivas) en el espacio tridimensional puede ser especificada a través del eje de rotación equivalente definido vectorialmente por tres parámetros y un cuarto parámetro representativo del ángulo rotado. Generalmente se denominan a estos cuatro parámetros grados de libertad de rotación.
[editar] Composición de rotaciones
En informática gráfica a veces existe cierta confusión sobre la interpretación de la composición de rotaciones en torno a los ejes (en el espacio euclídeo tridimensional), ya que la palabra 'ejes' puede referirse tanto a los ejes del sistema de referencia del mundo como a los ejes del sistema de referencia local asociado a un objeto que sufre varias rotaciones (por tanto, estos ejes locales van cambiando con sucesivas rotaciones). Estas dos interpretaciones llevan a matrices de rotación distintas, y por tanto, si no se concreta, la mera referencia a una "composición de rotaciones en torno a los ejes" puede resultar ambigua.
Además, la rotación en torno a los ejes locales es aparentemente más compleja de expresar como una matriz que la rotación en torno a los ejes del sistema de referencia del mundo (SRM). Por otro lado, las rotaciones en torno a los ejes globales pueden provocar lo que se conoce como "Gimbal Lock". Sin embargo, como se demuestra más abajo, la obtención de ambas matrices es igual de sencilla, por lo tanto, para evitar el Gimbal Loack, podemos usar fácilmente las rotaciones en torno a los ejes locales.
Por ejemplo, supongamos que deseo rotar un objeto un ángulo 
en torno al eje 
, después, un ángulo 
en torno al eje 
, y, finalmente, un ángulo 
en torno al eje 
.
Supongamos que en todos los casos hablamos de rotaciones en torno a los ejes fijos del sistema de coordenadas del mundo. En este caso, la matriz de rotación 
se obtiene como composición de otras tres, una por cada rotación:
![\mathbf{}
M_1 ~=~ R[\mathbf{x},\alpha] \cdot R[\mathbf{y},\beta] \cdot R[\mathbf{z},\gamma]](../../../../math/a/3/e/a3e2206afc5e1dc175671990d5500c1a.png)
donde la expresión
![\mathbf{}
R[\mathbf{u},a]](../../../../math/b/b/c/bbc64c795ecb206c59ecdb270ae62d11.png)
hace referencia a la matriz de rotación de 
radianes en torno a un vector 
arbitrario. Nótese que la expresión 
expresa la matriz resultado de la composición de las matrices 
y 
, donde el efecto de aplicar 
a un vector 
es igual al efecto de aplicar primero y después a dicho vector, es decir, por definición:
Supongamos ahora que intepretamos las rotaciones como rotaciones en torno a los ejes locales. La correspondiente matriz 
es ahora:
![M_2 ~=~ R[\mathbf{x},\alpha] \cdot R[\mathbf{y}',\beta] \cdot R[\mathbf{z}'',\gamma]
\,\!](../../../../math/2/d/8/2d836844394b423eab63b3044e689b1a.png)
donde
![\begin{matrix}
\mathbf{y'} & = & R[\mathbf{x},\alpha]\,\mathbf{y} \\
\mathbf{z'} & = & R[\mathbf{x},\alpha]\,\mathbf{z} \\
\mathbf{z''} & = & R[\mathbf{y},\beta]\,\mathbf{z'} \\
\end{matrix}](../../../../math/d/9/3/d9380031f52e9a00007a992cbd1804a8.png)
Por tanto, evita el Gimbal Lock pero es más compleja de obtener, puesto que está expresada en términos de rotaciones en torno a vectores que no coinciden con los ejes. Sin embargo, en realidad esto no es así, puesto que se puede demostrar que:
![M_2 ~=~ R[\mathbf{z},\gamma]\cdot R[\mathbf{y},\beta] \cdot R[\mathbf{x},\alpha]
\,\!](../../../../math/5/2/5/52521be4013f474a93eb1900e2114a35.png)
es decir, puede escribirse como composición respecto de los ejes del sistema de referencia del mundo, solo que en este caso la composición debe hacerse en el orden contrario respecto al orden que queremos para las rotaciones en torno a los ejes locales.
Para demostrar esta igualdad basta con aplicar dos propiedades de las matrices de rotación. La primera es que una rotación de un cierto angulo obviamente se cancela si se compone con otra rotación igual pero con el ángulo cambiado de signo, es decir:
![R[\mathbf{u},a]\cdot R[\mathbf{u},-a]~~=~~I
\,\!](../../../../math/d/5/0/d50bc152a298ac24008b1449fcf4eaf2.png)
donde 
es la matriz identidad. La otra propiedad que se usará es esta:
![R[R[\mathbf{u},a]\mathbf{v},b] ~~=~~ R[\mathbf{u},-a]\cdot R[\mathbf{v},b]\cdot R[\mathbf{u},a]
\,\!](../../../../math/1/0/5/105ebb3007d3ff93f3186c3cc0cd2396.png)
que se cumple para cualesquiera vectores 
y 
y ángulos y 
. Significa que, para rotar en torno al vector ![\mathbf{v}'=R[\mathbf{u},a]\,\!](../../../../math/a/6/9/a698cdd38b657407818f9f2237a9019e.png)
(que es rotado en torno a ), podemos: (1) deshacer la rotación en torno a , (2) hacer la rotación en torno al vector original , y (3) rehacer de nuevo la rotación en torno a .
Aplicando esta última propiedad varias veces en el orden adecuado (y cancelando las rotaciones complementarias que aparecen) podemos demostrar fácilmente que la segunda expresión de se deriva de la definición original.
