3-esfera

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En matemática, una 3-esfera o hiperesfera es un análogo en mayor número de dimensiones de una esfera. Una esfera ordinaria, o 2-esfera, consiste de todos los puntos equidistantes de un punto dado en el espacio euclídeo tridimensional ordinario, R³. Una 3-esfera consiste de todos los puntos equidistantes de un punto dado en R⁴. Mientras que una 2-esfera es una superficie "suave" de dos dimensiones, una 3-esfera es un ejemplo de una 3-variedad.

De forma enteramente análoga, es posible definir esferas de un número de dimensiones mayor, llamadas hiperesferas o n-esferas. Dichos objetos son variedades n-dimensionales.

Alguna literatura se refiere a la 3-esfera como glomo, del latín glomus, balón. Informalmente, un glomo es a una esfera lo que ésta es a un círculo.

Tabla de contenidos

1 Definición
2 Propiedades elementales
3 Propiedades topológicas
4 Sistemas de coordenadas sobre la 3-esfera
5 Estructura de grupo
6 Tangentes
7 En la literatura
8 Véase también
9 Enlaces externos

[editar] Definición

En coordenadas, una 3-esfera con centro (x₀, y₀, z₀, w₀) y radio r es el conjunto de todos los puntos (x, y, z, w) en R⁴ tales que

$( x - x_0 )^2 + ( y - y_0 )^2 + ( z - z_0 )^2 + ( w - w_0 )^2 = r^2. \,$

La 3-esfera centrada en el origen y con radio 1 se llama 3-esfera unitaria o 3-esfera unidad, y habitualmente se denota S³. Puede ser descripta como un subconjunto de R⁴, de C², o de H (los cuaterniones):

$S^3 = \left\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4\mid x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 1\right\}$

$S^3 = \left\{(z_1,z_2)\in\mathbb{C}^2\mid |z_1|^2 + |z_2|^2 = 1\right\}$

$S^3 = \left\{q\in\mathbb{H}\mid |q| = 1\right\}.$

La última descripción es habitualmente la más útil. Describe la 3-esfera como el conjunto de todos los cuaterniones unidad, es decir, los cuaterniones con valor absoluto igual a 1. Así como el conjunto de todos los números complejos unidad es importante en geometría compleja, el conjunto de todos los cuaterniones unidad es importante para la geometría de los cuaterniones.

[editar] Propiedades elementales

El volumen tridimensional (o hiperárea) de una 3-esfera de radio r es

$2\pi^2 r^3 \,$

mientras que el hipervolumen tetradimensional (el volumen de la región de 4 dimensiones delimitada por la 3-esfera) es

$\begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \pi^2 r^4.$

Cada intersección no vacía de una 3-esfera con un hiperplano tridimensional es una 2-esfera, a menos que el hiperplano sea tangente a la 3-esfera, en cuyo caso la intersección es un único punto. Cuando la 3-esfera se mueve a través de un hiperplano tridimensional dado, la intersección comienza como un punto, luego se convierte en una 2-esfera creciente que alcanza su tamaño máximo cuando el hiperplano corta directamente a través del "medio" de la 3-esfera, y finalmente la 2-esfera se "encoge" nuevamente hasta ser un solo punto a medida que la 3-esfera abandona el hiperplano.

[editar] Propiedades topológicas

Una 3-esfera es una variedad compacta sin delimitación. También es simplemente conexa. Lo que esto significa, informalmente, es que cualquier camino circular, o cualquier rizo, en la 3-esfera puede encogerse continuamente a un punto sin abandonar la 3-esfera. Existe desde hace tiempo una conjetura, llamada conjetura de Poincaré, que sostiene que la 3-esfera es la única variedad tridimensional con estas propiedades (salvo homeomorfismo). Aparentemente, esta conjetura ha sido probada por Grigori Perelman en una serie de trabajos producidos a partir de noviembre de 2002.

La 3-esfera es también homeomórfica con la compactación en un punto R³.

Los grupos de homología no triviales de la 3-esfera son los siguientes: H₀(S³,Z) y H₃(S³,Z) son ambos cíclicos infinitos, mientras que H_i(S³,Z) = {0} para todo otro índice i. Cualquier espacio topológico con estos grupos de homología es conocido como una 3-esfera homológica. Inicialmente Poincaré conjeturó que todas las 3-esferas de homología eran homomórficas a S³, pero luego logró construir una no homomórfica, ahora conocida como la esfera de Poincaré. Se conoce la existencia de un número infinito de esferas de homología. Por ejemplo, un llenado de Dehn con pendiente 1/n sobre cualquier nudo en la 3-esfera da una esfera de homología; típicamente, éstas no son homomorfas de la 3-esfera.

Respecto de los grupos de homotopía, tenemos π₁(S³) = π₂(S³) = {0} y π₃(S³) es cíclico infinito. Los grupos de homotopia más grandes (k ≥ 4) son todos abelianos finitos, pero además de ello no siguen ningún patrón discernible. Para mayor detalle, véase grupos de homotopia de las esferas.

**Grupos de homotopia de S³**
k	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
π_k(S³)	0	0	0	Z	Z₂	Z₂	Z₁₂	Z₂	Z₂	Z₃	Z₁₅	Z₂	Z₂⊕Z₂	Z₁₂⊕Z₂	Z₈₄⊕Z₂⊕Z₂	Z₂⊕Z₂	Z₆

Hay una interesante acción de grupo de S¹ (imaginado como el grupo de los números complejos de valor absoluto 1) sobre S³ (imaginada como un subconjunto de C²): λ·(z₁,z₂) = (λz₁,λz₂). El espacio orbital de esta acción es naturalmente homomorfo con la 2-esfera S². El mapa resultante de la 3-esfera en la 2-esfera es conocido como haz de Hopf. Es el generador del grupo de homotopia π₃(S²).

[editar] Sistemas de coordenadas sobre la 3-esfera

[editar] Coordenadas hiperesféricas

Resulta conveniente contar con algún tipo de coordenadas hiperesféricas en S³, analógicamente a las coordenadas esféricas usuales en S². Una elección (de ningún modo la única posible) es utilizar (ψ, θ, φ) donde

$x_0 = \cos\psi\,$

$x_1 = \cos\phi\,\sin\theta\,\sin\psi$

$x_2 = \sin\phi\,\sin\theta\,\sin\psi$

$x_3 = \cos\theta\,\sin\psi$

donde ψ y θ se desplazan en el rango de [0,π], y φ se desplaza en [0,2π]. Nótese que para cualquier valor fijo de ψ, θ y φ parametrizan una 2-esfera de radio sin(ψ), excepto en los casos degenerados, cuando ψ es igual a 0 o a π, en cuyo caso describen un punto.

El tensor métrico sobre la 3-esfera en estas coordenadas está determinado por

$ds^2 = d\psi^2 + \sin^2\psi\left(d\theta^2 + \sin^2\theta\, d\phi^2\right)$

y la forma de volumen por

$dV = \left(\sin^2\psi\,\sin\theta\right)\,d\psi\wedge d\theta\wedge d\phi.$

Estas coordenadas pueden ser descriptas en términos de cuaterniones. Cualquier cuaternión unidad q puede escribirse de la forma:

q = e^τψ = cos ψ + τ sin ψ

donde τ es un cuaternión imaginario unidad (es decir, cualquier cuaternión que satisface τ² = −1). Este es el análogo cuaterniónico de la fórmula de Euler. Ahora los cuaterniones imaginarios unidad yacen todos sobre la 2-esfera unidad en Im H, de modo que cualquier τ puede escribirse como:

τ = cos φ sin θ i + sin φ sin θ j + cos θ k

Con τ de esta forma, el cuaternión unidad q está dado por

q = e^τψ = x₀ + x₁ i + x₂ j + x₃ k

donde las x son como se indica más arriba.

Cuando se usa q para describir rotaciones espaciales (cf. cuaterniones y rotación espacial) describe una rotación alrededor de τ a través de un ángulo de 2ψ.

[editar] Coordenadas de Hopf

Otra elección de coordenadas hiperesféricas, (η, ξ₁, ξ₂), usa el encaje de S³ en C². En coordenadas complejas (z₁, z₂) ∈ C² escribiremos

$z_1 = e^{i\,\xi_1}\sin\eta$

$z_2 = e^{i\,\xi_2}\cos\eta.$

Aquí η se desplaza en el rango 0 a π/2, y ξ₁ y ξ₂ pueden tomar cualquier valor entre 0 y 2π. Estas coordenadas son útiles en la descripción de la 3-esfera como un haz de Hopf

$S^1 \to S^3 \to S^2.\,$

Para cualquier valor de η entre 0 y π/2, las coordenadas (ξ₁, ξ₂) parametrizan un toro bidimensional. En los caso degenerados, cuando η es igual a 0 o a π/2, estas coordenadas describen un círculo.

El tensor métrico sobre la 3-esfera en estas coordenadas está dado por

$ds^2 = d\eta^2 + \sin^2\eta\,d\xi_1^2 + \cos^2\eta\,d\xi_2^2$

y la forma de volumen por

$dV = \sin\eta\cos\eta\,d\eta\wedge d\xi_1\wedge d\xi_2.$

[editar] Coordenadas estereográficas

Otra conjunto de coordenadas conveniente puede obtenerse por proyección estereográfica de S³ sobre un hiperplano de R³ tangente. Por ejemplo, si proyectamos sobre el plano tangente al punto (1, 0, 0, 0) se podría escribir un punto p en S³ como

$p = \left(\frac{1-\|u\|^2}{1+\|u\|^2}, \frac{2\mathbf{u}}{1+\|u\|^2}\right) = \frac{1+\mathbf{u}}{1-\mathbf{u}}$

donde u = (u₁, u₂, u₃) es un vector en R³ and ||u||² = u₁² + u₂² + u₃². En la segunda igualdad de arriba hemos identificado p con un cuaternión unidad y u = u₁ i + u₂ j + u₃ k con un cuaternión puro. (Nótese que aquí la división está bien definida, aún cuando la multiplicación cuaterniiónica es generalmente no conmutativa). La inversa de este mapa transforma p = (x₀, x₁, x₂, x₃) en S³ en

$\mathbf{u} = \frac{1}{1+x_0}\left(x_1, x_2, x_3\right).$

Bien podríamos haber proyectado sobre el plano tangente al punto (−1, 0, 0, 0), en cuyo caso el punto p estaría dado por

$p = \left(\frac{-1+\|v\|^2}{1+\|v\|^2}, \frac{2\mathbf{v}}{1+\|v\|^2}\right) = \frac{-1+\mathbf{v}}{1+\mathbf{v}}$

donde v = (v₁, v₂, v₃) es un vector en el segundo R³. La inversa de este mapa transforma p en

$\mathbf{v} = \frac{1}{1-x_0}\left(x_1,x_2,x_3\right).$

Nótese que las coordenadas u están definidas en todas partes excepto (−1, 0, 0, 0) y las coordenadas v en todas partes excepto (1, 0, 0, 0). Ambos "parches" juntos cubren la totalidad S³. Esto define un atlas sobre S³ que consiste de dos cartas coordinadas. Nótese también que la función de transición entre estas dos cartas en su superposición está dada por

$\mathbf{v} = \frac{1}{\|u\|^2}\mathbf{u}$

y viceversa.

[editar] Estructura de grupo

Cuando se la considera como el conjunto de los cuaterniones unidad, S³ hereda la estructura de la multiplicación cuaterniónica. Dado que el conjunto de los cuaterniones unidad es cerrado bajo la multiplicación S³ tiene la estructura de un grupo. Además, como la multiplicación cuaterniónica es regular (infinitamente diferenciable), S³ puede ser visto como un grupo de Lie. Es un grupo de Lie que no es abeliano, compacto, de dimensión 3. Cuando se lo imagina como un grupo de Lie se lo suele denotar Sp(1) o U(1, H).

Resulta ser que las únicas esferas que admiten la estructura de un grupo de Lie son el círculo unidad, S¹, imaginado como el cojunto de los números complejos unidad, y S³, el conjunto de los cuaterniones unidad. Se podría pensar que S⁷, el conjunto de los octoniones unidad, formaría un grupo de Lie, pero esto no es así porque la multiplicación de octoniones no es asociativa. La estructura octoniónica da a S⁷ una importante propiedad: la paralelizabilidad. Las únicas esferas paralelizables son S¹, S³ y S⁷.

Usando una representación matricial de los cuaterniones, H, se obtiene una representación matricial de S³. Una elección conveniente es

$x_1+ x_2 i + x_3 j + x_4 k \mapsto \begin{pmatrix}\;\;\,x_1 + i x_2 & x_3 + i x_4 \\ -x_3 + i x_4 & x_1 - i x_2\end{pmatrix}.$

Este mapa da un homomorfismo algebraico inyectivo de H en el conjunto de matrices complejas 2×2. Tiene la propiedad de que el valor absoluto de un cuaternión q es igual a la raíz cuadrada del determinante de la matriz imagen de q.

El conjunto de los cuaterniones unidad está por lo tanto dado por matrices de la forma arriba indicada con determinante unidad. Resulta que este grupo es precisamente el grupo especial unitario SU(2). Por lo tanto S³ como grupo de Lie es isomorfo a SU(2).

Usiando nuestras coordenadas hiperesféricas (η, ξ₁, ξ₂) podemos escribir cualquier elemento de SU(2) como

$\begin{pmatrix}e^{i\,\xi_1}\sin\eta & e^{i\,\xi_2}\cos\eta \\ -e^{-i\,\xi_2}\cos\eta & e^{-i\,\xi_1}\sin\eta\end{pmatrix}.$

[editar] Tangentes

Una 3-esfera unidad embebida en el 4-espacio tiene un 3-espacio de vectores tangentes, T_pS³, en cualquier punto p. Si (x₀,x₁,x₂,x₃) son las coordenadas de p, entonces el vector con coordenadas (−x₁,x₀,−x₃,x₂) está en T_pS³, y la colección de todos esos vectores forma un campo continuo de vectores unidad en S³. (Esta es una sección del haz de tangentes, TS³.) Tal construcción claramente es posible para esferas en todos los espacios con un número par de dimensiones, S²ⁿ⁻¹; pero una implicación del teorema de índices de Atiyah-Singer es que resulta imposible para S²ⁿ (para n positivo).

[editar] En la literatura

Stephen Baxter usó la 3-esfera en su cuento Dante and the 3-Sphere, una historia en la que un científico y teólogo aparentemente loco "se da cuenta" de que Dante en la "Divina Comedia" se refiere a una transversal a través de múltiples 3-esferas. El personaje principal es llevado por el científico a un viaje a través de múltiples 3-esferas.

En Flatland de Edwin Abbott Abbott, publicado en 1884, se hace referencia a las 3-esferas como sobresferas.

[editar] Véase también

Anexo:Ecuaciones de figuras geométricas
1-esfera, 2-esfera, n-esfera
Teseracto, polícoro, simplex
Matrices de Pauli
Grupo de rotación SO(3)
- cartas en SO(3)
- cuaterniones y rotación espacial
Haz de Hopf, esfera de Riemann
Esfera de Poincaré
Foliación de Reeb
Toro de Clifford
Teorema de Poincaré

[editar] Enlaces externos

Hiperesferas en Mathworld (en inglés)

La versión original de este artículo es una traducción y adaptación de en:3-sphere en Wikipedia en inglés

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