3-sfero

El Vikipedio

En matematiko, 3-sfero estas pli multdimensia analogo de sfero. Ĝi konsistas el punktoj samdistancaj de fiksita centra punkto en 4-dimensia eŭklida spaco. Ordinara sfero (aŭ 2-sfero) estas du dimensia surfaco dum 3-sfero estas objekto kun tri dimensioj, sciata kiel 3-dukto.

3-sfero estas parto okazo hipersfero, kiu estas n-sfero por n ≥ 3.

Enhavo

1 Difino
2 Propraĵoj
3 Koordinatoj sur la 3-sfero
- 3.1 Hipersferaj koordinatoj
4 Vidu ankaŭ
5 Eksteraj ligiloj

[redakti] Difino

En karteziaj koordinatoj, 3-sfero kun centro (C₀, C₁, C₂, C₃) kaj radiuso r estas la aro de ĉiuj punktoj (x₀, x₁, x₂, x₃) en R⁴ tiaj ke

$\sum_{i=0}^3(x_i - C_i)^2 = ( x_0 - C_0 )^2 + ( x_1 - C_1 )^2 + ( x_2 - C_2 )^2+ ( x_3 - C_3 )^2 = r^2.$

La 3-sfero centrita je la fonto de koordiantoj kun radiuso 1 estas nomita la unuobla 3-sfero kaj estas kutime skribata kiel S³:

$S^3 = \left\{(x_0,x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^4 : x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 1\right\}.$

[redakti] Propraĵoj

[redakti] Rudimentaj propraĵoj

La 3-dimensia volumeno (aŭ hiperareo) de 3-sfero de radiuso r estas

$2\pi^2 r^3 \,$

kaj la 4-dimensia hipervolumeno (la volumeno de la 4-dimensia regiono barita per la 3-sfero) estas

$\begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \pi^2 r^4.$

Ĉiu ne-malplena komunaĵo de 3-sfero kun tri-dimensia hiperebeno estas 2-sfero (se ne la hiperebeno estas tangento al la 3-sfero, en ĉi tiu okazo la komunaĵo estas sola punkto). Se 3-sfero moviĝas tra donita tri-dimensia hiperebeno, la komunaĵo startas kiel punkto, poste iĝas kreskantan 2-sferon kiu atingas sian maksimuma amplekso kiam la hiperebeno sekcas ĝuste tra la ekvatoro de la 3-sfero. Poste la 2-sfero malpligrandiĝas denove al sola punkto kiam la 3-sfero lasas la hiperebenon.

[redakti] Topologiaj propraĵoj

3-sfero estas kompakta, koneksa, 3-dimensia dukto sen rando. Ĝi estas ankaŭ simple-koneksa. Ĉi tio signifas ke ĉiu ciklo, aŭ cirkla vojo, sur la 3-sfero povas esti kontinue malpligrandigita al punkto ne lasante la 3-sferon. La konjekto de Poincaré proponas ke la 3-sfero estas la nura tri dimensia dukto kun ĉi tiuj propraĵoj (kun precizo de homeomorfio).

La 3-sfero estas homeomorfia al la unu-punkta kompaktigo de R³. Ĝenerale, ĉiu topologia spaco kiu estas homeomorfia al la 3-sfero estas nomata kiel topologia 3-sfero.

[redakti] Geometriaj propraĵoj

La 3-sfero estas nature glata dukto, fakte, fermita enigita subdukto de R⁴. La eŭklida metriko sur R⁴ donas metriko sur la 3-sfero donante al ĝi la strukturon de rimana dukto. Kiel kun ĉiuj sferoj, la 3-sfero havas konstanta pozitiva sekcian kurbecon egalan al 1/r² kie r estas la radiuso.

[redakti] Koordinatoj sur la 3-sfero

La kvar eŭklida koordinatoj por S³ estas superfluaj ĉar ili estas kun rezervo pro la kondiĉo ke ${x_0}^2 + {x_1}^2 + {x_2}^2 + {x_3}^2 = 1$ . Ĉar ĝi estas 3-dimensia dukto oni devus kapabli parametrigi la 3-sferon S³ per tri koordinatoj, simile al kiel oni povas parametrigi la 2-sferon uzanta du koordinatojn (latitudo kaj longitudo).

[redakti] Hipersferaj koordinatoj

Hipersferaj koordinatoj estas analogio al la kutimaj sferaj koordinatoj sur S². La koordinatoj estas (ψ, θ, φ) kaj

$x_0 = \cos\psi\,$

$x_1 = \cos\phi\,\sin\theta\,\sin\psi$

$x_2 = \sin\phi\,\sin\theta\,\sin\psi$

$x_3 = \cos\theta\,\sin\psi$

kie ψ kaj θ estas en limigoj ekde 0 al π, kaj φ estas en limigoj ekde 0 al 2π. Noto ke por ĉiu fiksita valoro de ψ, θ kaj φ parametrigas 2-sferon de radiuso sin(ψ), krom okazoj kiam ψ egalas al 0 aŭ π, en ĉi tiu okazo ili priskribi punkton.

[redakti] Vidu ankaŭ

Hipersfero
1-sfero, 2-sfero
4-hiperkubo
4-hiperpluredro
Simplaĵo
Sfero de Poincaré

[redakti] Eksteraj ligiloj

Eric W. Weisstein, 3-srefo en MathWorld. Noto: Ĉi tiu artikolo uzas la alternan sistemon de nomado por sferoj en kiu sfero en n-dimensia spaco estas nomata kiel n-sfero.

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.