Zariski-Topologie
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Die Zariski-Topologie ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der algebraischen Geometrie. Sie ist die natürliche Topologie auf den Studienobjekten der algebraischen Geometrie, den algebraischen Varietäten oder allgemeiner den Schemata.
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[Bearbeiten] Die Zariski-Topologie in der klassischen algebraischen Geometrie
In der klassischen algebraischen Geometrie ist die Zariski-Topologie (nach Oscar Zariski) diejenige Topologie auf dem affinen Raum kn über einem algebraisch abgeschlossenen Körper k, die von den offenen Mengen der Form
für ![f\in k[X_1,\ldots,X_n]](../../../../math/c/7/b/c7b002b6d189baa8784a1b3ff8f059f6.png)
erzeugt wird. Affine Varietäten tragen die induzierte Topologie, und die Zariski-Topologie auf allgemeineren Varietäten wird über affine Karten definiert.
Beispielsweise ist die Zariski-Topologie auf der affinen Geraden die Topologie der koendlichen Mengen.
Auf einer affinen Varietät ist die Zariski-Topologie die gröbste Topologie, für die die regulären Funktionen als Abbildungen in die affine Gerade k (mit ihrer Zariski-Topologie) stetig sind.
[Bearbeiten] Die Zariski-Topologie auf dem Spektrum eines Ringes
Ist A ein kommutativer Ring mit Einselement, so ist das Spektrum 
die Menge der Primideale von A mit der Topologie, bei der die abgeschlossenen Mengen die Mengen
für Ideale 
sind.
Ist ![A=k[X_1,\ldots,X_n]](../../../../math/2/5/f/25fc3735be403f1f3b1b94771064f49c.png)
für einen algebraisch abgeschlossenen Körper k so entsprechen die maximalen Ideale von A nach dem Hilbertschen Nullstellensatz eineindeutig den Elementen von kn, und die Topologien auf diesen beiden Mengen stimmen überein.
[Bearbeiten] Eigenschaften
Die Zariski-Topologie unterscheidet sich stark von den gewohnten, auf den reellen Zahlen basierenden topologischen Räumen.
- Die Topologie ist i.a. nicht hausdorffsch; in der Tat ist der Raum kn irreduzibel, d.h. je zwei nichtleere offene Teilmengen schneiden sich. Irreduzibilität ist also ein stärkerer Begriff als Zusammenhang.
- Quasi-kompakte Teilmengen müssen nicht notwendigerweise abgeschlossen sein.
[Bearbeiten] Verallgemeinerungen
- Die Zariski-Topologie eines Schemas ist Teil seiner Struktur; allerdings verwendet man den Ausdruck „Zariski-Topologie“ im Kontext von Schemata meist nur zur Unterscheidung von anderen Grothendieck-Topologien.
