Tangentialbündel

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Tangentialbündel ist ein Begriff aus der Differentialgeometrie. Das Tangentialbündel $T M$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$ ist ein Vektorbündel. Als Menge ist es als die disjunkte Vereinigung aller Tangentialräume von $M$ definiert:

$TM=\bigcup_{p\in M} \{p\}\times T_pM=:\coprod_{x\in M}T_xM.$

Die Vektorraumstruktur in den Fasern $\{p\}\times T_pM$ ist die von den Tangentialräumen geerbte Struktur.

Ist M eine $n$ -dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und U eine offene, zusammenziehbare Umgebung von $p\in M$ , dann ist TU diffeomorph zu $\; U\times \mathbb{R}^n,$ d.h. lokal ist das Tangentialbündel TM diffeomorph zu $\;\R^{2n}$ .

Man nennt einen Atlas des Tangentialbündels - wo alle Karten die Form $U\times\R^{n}$ haben - eine lokale Trivialisierung.

Topologie und differenzierbare Struktur bekommt das Tangentialbündel durch eine lokale Trivialisierung.

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit $M$ mit trivialem Tangentialbündel (d.h. $T M$ ist als Bündel isomorph zu $M\times\R^n$ ) nennt man parallelisierbar.

Beispiele für parallelisierbare Mannigfaltigkeiten:

$M=\R^n$ , das Tangentialbündel ist $TM = \R^n \times \R^n = \R^{2n}.$
$M=S^1 = \{x \in \mathbb{R}^2: \begin{Vmatrix} x \end{Vmatrix} = 1\}$ . Das Tangetialbündel ist der unendlich lange Zylinder, d.h. $TM = S^1\times\R.$

Jede endlich dimensionale Lie-Gruppe $G$ , denn man kann eine Basis für den Tangentialraum $T e G$ am neutralen Element $e$ wählen und dann durch die Gruppenwirkung über ganz $G$ transportieren, um eine Trivialisierung von $T G$ zu erhalten.

Jede orientierbare geschlossene $3$ -Mannigfaltigkeit.

Beispiele für nichttriviale Tangentialbündel:

$T S 2$ mit $S^2 = \{x \in \R^3: \begin{Vmatrix} x \end{Vmatrix} = 1\}$ , denn nach dem Satz vom Igel gibt es auf der $2$ -Sphäre kein nirgendwo verschwindendes Vektorfeld.

[Bearbeiten] Natürliche Projektion

Die natürliche Projektion ist eine glatte Abbildung

$\pi\colon TM \to M\,$

definiert durch

$(p,v) \mapsto p.$

Dabei ist $p \in M$ und $v \in T_pM$ . Es gilt also $\;\pi^{-1} (x) = T_xM$ für alle $x\in M$ .

[Bearbeiten] Vektorfelder

Ein glattes Vektorfeld ist ein Schnitt im Tangentialbündel, d.h. eine glatte Abbildung: $\sigma : M \to TM$ mit $\pi\circ\sigma = \mathop{\operatorname{id}}_M$ , d.h. jedem $x \in M$ wird ein Vektor $\xi\in T_xM$ zugeordnet.