Schiefsymmetrische Matrix

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Eine schiefsymmetrische Matrix (bzw. antisymmetrische Matrix) ist eine Matrix, die gleich dem Negativen ihrer Transponierten ist.

Mathematisch:

A T = - A

bzw. für die Einträge

$a_{ij} = - a_{ji} \qquad\forall i,j\in\{1,\ldots,n\}$

Inhaltsverzeichnis

1 Eigenschaften
2 Siehe auch

[Bearbeiten] Eigenschaften

[Bearbeiten] Körpercharakteristik ungleich 2

Eigenschaften für Körper $\mathbb{F}$ der Charakteristik ungleich 2:

Die Einträge auf der Hauptdiagonalen sind Null
Ist $n$ ungerade, so ist ihre Determinante wegen $\operatorname{det}(A^T)=\operatorname{det}(A)$ gleich Null.

[Bearbeiten] Vektorraum

Die schiefsymmetrischen Matrizen bilden einen Vektorraum. Ist der Körper $\mathbb{F}=\R$ , so bezeichnet man diesen Vektorraum mit $\mathfrak{so}(n)$ . Die Bezeichnung rührt daher, dass dieser Vektorraum die Lie-Algebra der Lie-Gruppe $\operatorname{SO}(n)$ (Spezielle orthogonale Gruppe) ist.

Die orthogonale Projektion vom Raum der Matrizen in den Raum der schiefsymmetrischen Matrizen ist bzgl. des kanonischen Skalarprodukts gerade

$\begin{matrix} \operatorname{Pr}:& \R^{n\times n}&\to& \mathfrak s\mathfrak o(n)\\ & A & \mapsto & \frac12(A-A^T) \end{matrix}$

Der orthogonale Rest ist die symmetrische Matrix

$A-Pr(A)=\frac12(A+A^T)$ .

[Bearbeiten] Exponentialabbildung

Die Abbildung

$\begin{matrix} exp:& \mathfrak s\mathfrak o(n) & \to & \operatorname{SO}(n)\\ & A & \mapsto & \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac1{n!}A^n \end{matrix}$