Reuleaux-Dreieck
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Das Reuleaux-Dreieck ist das einfachste nicht triviale Beispiel eines Gleichdicks: eine Kurve, deren Durchmesser alle die gleiche Länge haben. Es ist nach Franz Reuleaux, einem deutschen Ingenieur des 19. Jahrhunderts benannt, der Pionierarbeit auf dem Gebiet der Getriebelehre leistete.
Um ein Reuleaux-Dreieck zu konstruieren, fängt man mit einem gleichseitigen Dreieck an. Um jeden Eckpunkt wird ein Kreis gezeichnet, der durch die beiden jeweils gegenüberliegenden Eckpunkte geht. Der Durchschnitt (d.i. die gemeinschaftliche Fläche) der drei Kreise bildet das Reuleaux-Dreieck.
Dem Blaschke-Lebesgue-Theorem nach hat das Reuleaux-Dreieck die kleinste Fläche aller Gleichdicke.
Das Reuleaux-Dreieck kann verallgemeinert werden zu regelmäßigen Polygonen mit 2n + 1 Seiten. Siehe Bogenvieleck.
Da alle Durchmesser die gleiche Länge haben, ist das Reuleaux-Dreieck – eigentlich alle Reuleaux-Polygone – die nicht-offensichtliche Antwort auf die Mensa-artige Frage „Welche Form muss ein Kanaldeckel haben, damit er nicht durchs Loch fallen kann?“ Die offensichtliche Antwort ist der Kreis.
Erwähnenswert ist das Vorkommen eines Reuleaux-Dreieck als Form des Kolbens eines Wankelmotors.
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[Bearbeiten] Flächeninhalt
Bei der Berechnung des Flächeninhalts eines Reuleaux-Dreiecks "R", bei dem das, zur Konstruktion benötigte, gleichseitige Dreieck "ABC" den Radius "r" besitzt, benötigt man zunächst den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks, den man so berechnet:
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Außerdem Dreieck "ABC" besteht ein Relaux Dreieck aus drei Kreissegmenten. Eines dieser Kreissegmente besitzt den Flächeninhalt
Der Flächeninhalt des Gesamten Gleichdicks ist demnach
[Bearbeiten] Die dreidimensionale Verallgemeinerung
Die Schnittmenge von Kugeln mit Radius s, deren Mittelpunkte auf den Ecken eines regelmäßigen Tetraeders mit Seitenlänge s liegen, wird Reuleaux-Tetraeder genannt.
Im Gegensatz zum Reuleaux-Dreieck haben die Durchmesser des Reuleaux-Tetraeders nicht alle die gleiche Länge. So ist der Durchmesser, der durch die beiden Punkte führt, die sich kantenmittig auf zwei einander gegenüber liegenden Kanten des Körper befinden, größer als s – ihr Abstand beträgt
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