Prämisse

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Prämisse (v. lat.: praemissum = das Vorausgeschickte) heißt in der Logik eine Voraussetzung oder Annahme. Sie ist eine Aussage, aus der eine logische Schlussfolgerung gezogen wird.

Beispiel: Aus „Alle Menschen sind sterblich“ und „Sokrates ist ein Mensch“ folgt „Sokrates ist sterblich“. Die beiden erstgenannten Aussagen sind dabei die Prämissen, die letztgenannte Aussage ist die Konklusion oder Schlussfolgerung.

Inhaltsverzeichnis 1 Unterschiedliche Bedeutungen in Umgangssprache und Logik 2 Prämissen und Wahrheit 3 Prämissen in der Syllogistik 4 Symbolische Darstellung 5 Abhängigkeit und Freiheit von Prämissen 6 Siehe auch

[Bearbeiten] Unterschiedliche Bedeutungen in Umgangssprache und Logik

Man sollte zwischen dem Gebrauch des Wortes „Prämisse“ in der Umgangssprache und in der Logik unterscheiden. Im umgangssprachlichen Sinn sind die Prämissen, von denen jemand ausgeht, oft Sätze, die dieser Jemand für wahr oder zumindest wahrscheinlich hält. Solche Sätze sind beispielsweise Hypothesen in der Wissenschaft, also Sätze, die noch nicht sicher sind, von deren Richtigkeit man aber bis zum Beweis des Gegenteils ausgeht. Kurz gesagt sind es Sachverhalte, welche noch nicht nachgewiesen, aber vorerst als richtig erachtet werden.

Im logischen Sinne brauchen Prämissen nicht für wahr gehalten zu werden. Im Gegenteil setzt man gelegentlich Prämissen, von denen man genau weiß, dass sie falsch sind. Dies ist z. B. bei der Beweistechnik des indirekten Beweises der Fall, wo von einer Annahme ausgegangen wird mit dem Ziel, diese zu widerlegen. (Das vielleicht bekannteste Beispiel für einen indirekten Beweis ist der Satz des Euklid, bei dem bewiesen wird, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.) Prämissen sind hier also einfach Aussagen, von denen Schlussfolgerungen ausgehen, ohne Rücksicht darauf, ob sie nun wahr, wahrscheinlich oder falsch sind.

[Bearbeiten] Prämissen und Wahrheit

Dennoch gibt es einen engen Zusammenhang zwischen Prämissen und Wahrheit. Sind die Prämissen in einem gültigen Schluss wahr, muss auch die Konklusion wahr sein. Ein Beispiel hierfür ist der obengenannte Schluss, dass aus „Alle Menschen sind sterblich“ und „Sokrates ist ein Mensch“ folgt „Sokrates ist sterblich“. Das Umgekehrte gilt jedoch nicht: Sind die Prämissen (oder einige der Prämissen) falsch, gilt nicht notwendigerweise, dass die Konklusion falsch ist. Dies kann man sich daran klarmachen, dass aus „Alle Menschen sind Griechen“ und „Sokrates ist ein Mensch“ folgt „Sokrates ist Grieche“. (Eine Prämisse ist falsch, dennoch ist die Konklusion wahr und ist der Schluss korrekt.)

[Bearbeiten] Prämissen in der Syllogistik

Ein syllogistischer Schluss geht immer von zwei Prämissen aus. Diese werden als Vordersatz oder Obersatz (lat. propositio maior) und als Untersatz (lat. propositio minor) bezeichnet.

Beispiel für die 1. Prämisse

Alle Schwabinger sind Münchner.

Beispiel für die 2. Prämisse

Alle Münchner sind Bayern.

Beispiel für den passenden Schluss-Satz

Alle Schwabinger sind Bayern.

oder

Beispiel für die 1. Prämisse

Alle Schöneberger sind Berliner.

Beispiel für die 2. Prämisse

Alle Berliner sind Deutsche.

Beispiel für die passende Konklusion

Alle Schöneberger sind Deutsche.

oder

Beispiel für die 1. Prämisse

Alle Prager sind Tschechen.

Beispiel für die 2. Prämisse

Tschechen sind keine Armenier.

Beispiel für die passende Konklusion

Prager sind keine Armenier.

[Bearbeiten] Symbolische Darstellung

Symbolisch wird eine Schlussfolgerung wie folgt dargestellt:

Lies: Aus A₁,A₂,...A_n folgt B

Eine Schlussfolgerung kann also mehrere Prämissen haben, man geht jedoch gewöhnlich davon aus, dass sie nur eine Konklusion hat. Dies ist aber im Grunde Konvention, es gibt keinen prinzipiellen Grund, warum eine Schlussfolgerung nicht mehrere Konklusionen haben sollte.

[Bearbeiten] Abhängigkeit und Freiheit von Prämissen

Bei der oben dargestellten Schlussfolgerung spricht man davon, dass die Konklusion B aus den Prämissen A₁,A₂,...A_n folgt. Dies bedeutet nicht, dass die Konklusion tatsächlich wahr ist oder gar immer wahr sein muss; ebensowenig bedeutet es, dass die Konklusion nur dann wahr sein könnte, wenn die Prämissen wahr wären. Vielmehr bedeutet es lediglich, dass unter der Voraussetzung, dass alle Prämissen wahr sind, auch die Konklusion zwingend wahr ist.

In vielen logischen Systemen, so in der klassischen Aussagen- und Prädikatenlogik, gilt das Deduktionstheorem. Es sagt aus, dass es zulässig ist, eine der Prämissen in Gestalt des Vordersatzes einer „Wenn–dann“-Konstruktion (fachsprachlich materiale Implikation oder Konditional genannt) in die Konklusion zu verschieben, also vom Argument:

überzugehen zum Argument:

Hierbei wurde die ehemalige Prämisse A_n zum Vordersatz, die ehemalige Konklusion B zum Nachsatz des Konditionals (lies: „Wenn A_n, dann B“), das die Prämisse des neuen Arguments bildet.

Auf dem Deduktionstheorem beruhen unter anderem die Kalküle des natürlichen Schließens.

Beispiel

Anstatt aus „Alle Menschen sind sterblich“ und „Sokrates ist ein Mensch“ zu folgern: „Sokrates ist sterblich“, kann man aus „Alle Menschen sind sterblich“ alleine folgern: „Wenn Sokrates ein Mensch ist, dann ist er sterblich“.

Eine andere Möglichkeit, die Zahl der Prämissen zu reduzieren, ohne die Gültigkeit des Arguments zu beeinträchtigen, ergibt sich, wenn es gelingt, eine der Prämissen aus den anderen herzuleiten, wenn also gilt:

In diesem Fall ist die Prämisse A_n überflüssig (fachsprachlich: abhängig) und kann ebenfalls aus der Annahmenmenge getilgt werden.

Beispiel

Gelingt es, zu beweisen, dass Sokrates ein Mensch ist, so kann ich aus "Alle Menschen sind sterblich" direkt folgern "Sokrates ist sterblich".

[Bearbeiten] Siehe auch

• Ableitung (Logik)
• Vorurteil