Paralleltransport
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In der Differentialgeometrie bezeichnet Paralleltransport ein Verfahren, geometrische Objekte entlang glatter Kurven in einer Mannigfaltigkeit zu transportieren. Wenn die Mannigfaltigkeit eine kovariante Ableitung (im Tangentialbündel) besitzt, dann kann man Vektoren in der Mannigfaltigkeit entlang von Kurven so transportieren, dass sie bezogen auf den zur kovarianten Ableitung gehörenden Zusammenhang parallel bleiben.
Entsprechend kann man zu jedem Zusammenhang einen Paralleltransport konstruieren. Ein Cartan-Zusammenhang erlaubt sogar das Liften von Kurven aus der Mannigfaltigkeit in das zugehörige Prinzipalbündel. Eine solche Kurvenliftung erlaubt den Paralleltransport von Bezugssystemen, d. h. den Transport einer Basis von einem Punkt zum anderen.
Der zu einem Zusammenhang gehörende Paralleltransport erlaubt also in gewisser Weise, die lokale Geometrie einer Mannigfaltigkeit entlang einer Kurve zu bewegen.
Genau wie sich aus einem Zusammenhang ein Paralleltransport konstruieren lässt, lässt sich umgekehrt aus einem Paralleltransport ein Zusammenhang konstruieren. Insofern ist ein Zusammenhang ein infinitesimales Analogon zu einem Paralleltransport bzw. ein Paralleltransport die lokale Realisierung eines Zusammenhangs.
Neben der lokalen Realisation eines Zusammenhangs liefert ein Paralleltransport auch eine lokale Realisation der Krümmung, die Holonomie. Das Ambrose-Singer-Theorem macht diese Beziehung zwischen Krümmung und Holonomie explizit.
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[Bearbeiten] Der Paralleltransport für den Levi-Civita-Zusammenhang
Wichtigster Speziallfall für den Paralleltransport ist der Transport eines Tangentialvektors entlang einer Kurve auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit, wobei der Zusammenhang der Levi-Civita-Zusammenhang ist.
Konkret: Ist 
ein Tangentialvektor in einem Punkt p und γ(t) eine glatte Kurve mit γ(0) = p, so heißt ein Vektorfeld v(t) entlang γ, d.h. mit 
, genau dann Paralleltransport von v0, wenn gilt:
-
- 1.
- 2. v(0) = v0,
- 1.
wenn also die kovariante Ableitung von v(t) entlang γ verschwindet.
Hierbei handelt es sich um ein lineares Anfangswertproblem 1. Ordnung, von dem man die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung zeigen kann.
[Bearbeiten] Der Paralleltransport entlang einer Geodätischen
Im Falle, dass γ eine Geodätische ist, hat der Paralleltransport besondere Eigenschaften.
Beispielsweise ist der Tangentialvektor der Geodätischen selber parallel, sofern diese proportional zur Bogenlänge parametrisiert ist:
Denn dies war genau die Definition einer Geodätischen auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit.
Steht der Anfangsvektor v0 senkrecht auf der Geodätischen (g(v0,γ'(0)) = 0, so stehen alle Vektoren der Paralleltransportes senkrecht darauf, denn
[Bearbeiten] Paralleltransport in Euklidischen Räumen
Im Rn ist die Kovariante Ableitung die normale Ableitung in eine bestimmte Richtung. Sie verschwindet, wenn v(t), abgesehen vom Basispunkt konstant ist, d.h. wenn alle Vektoren v(t) parallel sind.
Der Paralleltransport ist also eine Verallgemeinerung der Parallelverschiebung eines Vektors entlang einer Kurve.
