Ordinalskala

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Die Ordinalskala ist eines der fünf wichtigsten Skalenniveaus in der Statistik. Bei der Verwendung von ordinal(skalierten) Merkmalen wird jede Merkmalsausprägung der Untersuchungseinheit genau einer Kategorie zugeordnet. Die Kategorien lassen sich in eine Rangfolge bringen und mit Namen oder Zahlen bezeichnen. Allerdings müssen die Abstände zwischen den einzelnen Kategorien nicht unbedingt gleich sein. Das Gegenteil zu diesem wäre "kardinal", in Zahlen gemessen.

Eine zulässige Aussage ist, dass die Rangfolge der Zahlen gleich der Rangfolge der Stärke der Merkmalsausprägungen ist. D.h. jemand mit einem höheren Rang hat auch eine höhere Merkmalsausprägung als jemand mit einem niedrigeren Rang. Über die Stärke der Merkmalsausprägung oder die Größe des Merkmalsunterschiedes zwischen Objekten lässt sich aber keine Aussage machen.

Formale Bedingungen (zu den Bedingungen der Nominalskala):

• Konnexivität

Es gilt entweder a größer b, oder b größer a, oder a gleich b.

• Transitivität

Wenn a größer b und b größer c, dann muss a größer c gelten.

[Bearbeiten] Beispiele

Nachfolgende Tabelle enthält Beispiele für ordinalskalierte Merkmale.

Das Einkommen könnte natürlich auch ein metrisches Merkmal sein. In vielen Umfragen wird es allerdings als ordinales Merkmal erhoben, da Befragte ihr genaues Einkommen nicht gerne preisgeben und Reichtum und Armut sich zwischen Gesellschaften nicht sinnvoll in absolutem Einkommen wiedergeben lassen.

[Bearbeiten] Mögliche Operationen

Auch wenn einzelne Kategorien durch Zahlen kodiert werden, sind mathematische Operationen mit diesen Zahlen nicht sinnvoll, da sie keinen numerischen Wert sondern eine Kategorie (z. B. zufrieden) darstellen. So ist beispielsweise eine Division "zufrieden / unzufrieden" wenig sinnvoll. Qualitative Vergleiche ("größer/kleiner als") können allerdings durchgeführt werden.

Ebenfalls möglich ist das Bestimmen von Auftrittshäufigkeiten der Kategorien in einer Menge von Untersuchungsobjekten (oder das Bestimmen von Auftrittshäufigkeiten von Merkmalsausprägungen kleiner oder größer als eine Bestimmte Kategorie).

[Bearbeiten] Erlaubte Transformationen

Sämtliche Transformationen mittels (streng) monoton steigender Funktionen sind zulässig.

[Bearbeiten] mathematische Deutung

Aus mathematischer Sicht ist eine Ordinalskala S eine Menge, für die folgendes gilt:

1. Es existiert eine Äquivalenzrelation , nämlich die Identitätsrelation auf S: .
2. Es existiert eine lineare Ordnungsrelation .

Jedes Element heißt Ausprägung von S.

Jede Ordinalskala ist eine Nominalskala.

[Bearbeiten] Die Beschränkung auf das ordinale Messniveau und seine Konsequenzen

Die Väter des Utilitarismus nahmen an, dass Unterschiede im Wohlergehen der Individuen messbare Größen sind. Demnach waren also Aussagen möglich wie z. B.: "Bei Realisierung der Alternative x erhöht sich das Wohlfahrtsniveau des Individuums A um 10 Nutzeneinheiten."

Mit dem Vordringen des Positivismus und Behaviorismus in Ökonomie und Psychologie geriet das Konzept eines "felicific calculus" (Bentham) zunehmend in die Kritik. Man wollte eine werturteilsfreie Wissenschaft, die sich allein auf beobachtbare Fakten stützte.

Die innerpsychischen Phänomene waren nicht direkt beobachtbar. Sie waren nur dem jeweiligen Individuum introspektiv zugänglich.

Beobachtbar war jedoch das Entscheidungsverhalten der Individuen. Anhand der Wahlhandlungen eines Individuums konnte man dessen Präferenzstruktur bestimmen und Aussagen machen wie: „Individuum A hat die Alternative x der Alternative y vorgezogen. X ist für das betreffende Individuum also besser als y“ oder „Für Individuum B sind die Alternativen x und y gleichwertig, denn es hat weder x gegenüber y noch umgekehrt y gegenüber x vorgezogen.“

Hinzu kam, dass die Indifferenzkurven und Präferenzordnungen ausreichten, um die Marktvorgänge zumindest auf der Ebene des theoretischen Modells erklären zu können. Nutzeneinheiten wurden nicht mehr benötigt.

Schwieriger war diese Entwicklung für die normative ökonomische Theorie, die Wohlfahrtsökonomie (engl. 'welfare economics') auf die man nicht völlig verzichten wollte. Der behavioristische Ansatz wandte sich nicht nur gegen die quantitative Messung des Nutzens, sondern er bot auch keine Grundlage für eine interpersonell vergleichbare Messung des Nutzens. Die Vorteile des einen Individuums konnten nicht gegen die Nachteile eines andern Individuums aufgerechnet werden.

Damit schrumpfte das utilitaristische Konzept des maximalen gesellschaftlichen Nutzens auf das Konzept der Pareto-Optimalität zusammen. Optimal in diesem Sinne waren Situationen, in denen kein Individuum besser gestellt werden konnte, ohne zugleich irgendein anderes schlechter zu stellen.

In dieser Situation wirkte das Arrow-Theorem wie ein Paukenschlag. Arrow wies nach, dass eine Ableitung der Wohlfahrt des Ganzen aus der Wohlfahrt der Einzelnen unter bestimmten, ethisch plausiblen Bedingungen nicht möglich war, sofern Unterschiede im Wohlergehen der Individuen nur ordinal durch eine entsprechende Rangordnung erfasst wurden.