Optimale Regelung

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Die optimale Regelung ist ein Prinzip in der Regelungstechnik, um für ein gegebenes System eine optimale Ansteuerung zu finden, so dass ein Gütemaß J minimiert wird. Sie ist eng verwandt mit der Variationsrechnung. Sie beruht dabei nicht auf einer Parameteroptimierung wie die vielfach üblichen Verfahren für die klassischen Regler (P-, PI-, PD-, PID-Regler) mit im Voraus festgelegter Struktur, sondern berechnet die optimale Reglerstruktur für eine gegebene Regelungsaufgabe.

Inhaltsverzeichnis

1 Allgemeine Lösung für die optimale Regelung über die optimale Steuerung
- 1.1 Lösungsweg
2 Maximumprinzip
3 2-Norm optimale Regelung
4 Maximumnorm optimale Regelung
5 Siehe auch
6 Literatur

[Bearbeiten] Allgemeine Lösung für die optimale Regelung über die optimale Steuerung

Eine Möglichkeit, diese optimale Regelung zu finden, ist, zunächst die optimale Steuerung $u$ zu finden und aus dieser das optimale Regelgesetz herzuleiten. Dabei wird zunächst das Gütemaß J aufgestellt, hinsichtlich der die Steuerung optimal sein soll. Zumeist werden dabei zeitoptimale oder quadratische Gütemaße verwendet. Gütemaß für eine zeit- verbrauchsoptimale Regelung:

$J=\frac{1}{2}\int_{t_0}^{t_e}(\underline {x}^T \underline {Q} \underline {x}+ \underline {u}^T \underline {R} \underline {u}) dt$

Es sind jedoch auch beliebige andere Gütemaße möglich wie z. B. das Lagrangesche Gütemaß oder das Mayersche Gütemaß. Diese sind jedoch alle Speziallfälle des Bolzaschen Gütemaß:

$J=h(\underline {x}(t_e),t_e))+\int_{t_0}^{t_e} f_0(\underline {x}(t),\underline {u}(t),t)dt$

Mit den Zustandsdifferentialgleichungen des Systems:

$\underline {x}(t)=\underline {f}(\underline {x}, \underline {u}, t)$

und den Randbedingungen:

$\underline {x}(t_0)=\underline {x}_0, \underline {x}(t_e)=\underline {x}_e$

ist der Vektor gesucht ${x(t) \choose u(t)}, t_0\leq t \leq t_e$ , der das Gütemaß zum absoluten Minimum macht.

Dieses Variationsproblem wird zumeist über die Hamilton-Funktion H gelöst, welche auf dem Lagrange-Multiplikator beruht.

Hamilton Funktion: $H(\underline {x}, \underline {\psi}, \underline {u}, t)=-f_0(\underline {x}, \underline {u}, t)+ \underline {\psi}^T\underline {f}(\underline {x}, \underline {u},t)$

Kanonische Differentialgleichungen:

Zustandsdifferentialgleichung: $\dot {\underline {x}}=\frac{\partial H}{\partial \underline {\psi}}$
adjungte Differentialgleichung: $\dot {\underline {\psi}}=-\frac{\partial H}{\partial \underline {x}}$

Steuerungsgleichung: $\frac{\partial H}{\partial \underline {u}}=\underline {0},$

Transversalitätsbedingung: $\frac{\partial H}{\partial \underline {x}}_{t_e}+ \underline {\psi}(t_e) - \frac{\partial \underline {z}}{\partial \underline {x}}^T_{t_e}\underline {\mu}=\underline {0}$

Falls Endpunkt beliebig: $\psi (t_e)=-\frac{\partial H}{\partial \underline {x}}_{t_e}$

[Bearbeiten] Lösungsweg

Für die Lösung des zuvor erläuterten Problems müssen dann folgende Schritte abgearbeitet werden:

Die Steuerungsgleichung wird zunächst in die kanonischen Differentialgleichungen eingesetzt und nach u umgestellt.
Ermittlung der Allgemeinen Lösung für $\underline {x}$ und $\underline {\psi}$
Lösung an Randbedingungen anpassen
Einsetzen von $\underline {c}(\underline {x}_0)$ in die Gleichung aus Schritt 2. Die dann wiederum in die Steuerungsgleichung aus Schritt 1 eingesetzt wird. Es ergibt sich der optimale Steuervektor.
Für die Lösung des Regelungsproblems ist zusätzlich der folgende Schritt notwendig. Aus den zuvor gefundenen Lösungen muss $\underline {x_0}$ entfernt werden. indem die erste Gleichung (optimale Trajektorie) nach $\underline {x_0}$ umgestellt wird und in die zweite eingesetzt wird. Es ergibt sich das optimale Regelungsgesetz.

[Bearbeiten] Maximumprinzip

In der Realität ist das Stellsignal zumeist begrenzt, sodass das Maximumprinzip und der Satz von Feldbaum (Satz von den n Schaltintervallen) seine Anwendung findet.

Der Satz von Feldbaum besagt:

Ist das System $\dot {\underline {x}}=\underline {A} \underline {x}+ \underline {b_1} u_1+ ...+\underline {b_p}u_p$ mit den konstanten (n,n)-Matrix $\underline {A}$ und konstanten Vektoren $\underline {b_1} u_1+ ...+\underline {b_p}$ von jedem Eingang aus steuerbar und hat $\underline {A}$ ausschließlich reelle Eigenwerte, so hat jede Komponente des zeitoptimalen Steuervektors $\underline {u}(t)$ höchstens n-1 Umschaltungen.

Die Schaltfunktion kann dabei nach dem Maximumprinzip nur die maximalen/minimalen Werte des Stellsignals annehmen.

[Bearbeiten] 2-Norm optimale Regelung

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[Bearbeiten] Maximumnorm optimale Regelung

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